Оглавление
Конвергенция в измерении
-
Сходимость по мере
- Обобщение сходимости по вероятности
- Определения глобальной и локальной сходимости
-
Свойства сходимости по мере
- Глобальная сходимость подразумевает локальную
- Локальная сходимость слабее глобальной
- В пространствах с конечной мерой оба понятия эквивалентны
- Если μ σ-конечно, локальная сходимость эквивалентна почти везде сходимости
- Лемма Фату и теорема о монотонной сходимости справедливы
- Основная теорема Лебега о сходимости выполняется
-
Контрпримеры
- Последовательность ступенчатых функций сходится локально, но не глобально
- Последовательность, сходящаяся к 0 глобально, но не почти везде
- Последовательность, сходящаяся почти везде и глобально, но не в p-норме
-
Топология сходимости по мере
- Определяется семейством псевдометрических параметров
- Метризуема при μ(X) < ∞
- Определяется метрикой d(f, g) = inf δ > 0 μ({|f – g| ≥ δ}) + δ
- Поддается унификации
-
Рекомендации
- Д.Х. Фремлин, 2000. Теория меры
- Торрес Фремлин, Х.Л. Ройден, 1988 год. Реальный анализ
- G.B. Далее следует, 1999 год, раздел 2.4. Реальный анализ