Оглавление
- 1 Симплициальное множество
- 1.1 Определение симплициальных множеств
- 1.2 Формальное определение
- 1.3 Карты граней и вырождений
- 1.4 Примеры симплициальных множеств
- 1.5 Стандартный n-симплекс
- 1.6 Лемма Йонеды и симплициальные множества
- 1.7 Геометрическая реализация
- 1.8 Сингулярное множество
- 1.9 Гомотопическая теория симплициальных множеств
- 1.10 Симплициальные объекты
- 1.11 История и использование симплициальных множеств
- 1.12 Современные применения
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Симплициальный набор – Arc.Ask3.Ru
Симплициальное множество
-
Определение симплициальных множеств
- Симплициальные множества — это последовательности множеств с внутренней структурой порядка и отображениями между ними.
- Они являются многомерными обобщениями ориентированных графов.
- Каждое симплициальное множество порождает топологическое пространство, известное как его геометрическая реализация.
-
Формальное определение
- Симплициальное множество — это контравариантный функтор из категории симплексов в категорию множеств.
- Объектами симплексной категории являются непустые полностью упорядоченные множества.
- Морфизмы в симплексной категории — это функции, сохраняющие порядок.
-
Карты граней и вырождений
- Карты граней — это отображения, сохраняющие порядок, которые удаляют вершины из симплекса.
- Карты вырождения — это отображения, дублирующие вершины в симплексе.
- Эти отображения удовлетворяют симплициальным тождествам.
-
Примеры симплициальных множеств
- Ядро частично упорядоченного множества — это симплициальное множество, состоящее из сохраняющих порядок карт от каждого объекта симплексной категории к данному множеству.
- Нерв категории — это симплициальное множество, состоящее из последовательностей морфизмов в данной категории.
- Сингулярное множество топологического пространства — это симплициальное множество, состоящее из непрерывных отображений от стандартного топологического симплекса до данного пространства.
-
Стандартный n-симплекс
- Стандартный n-симплекс — это симплициальное множество, определяемое как функтор homΔ(-, [n]).
- [n] — это упорядоченное множество из первых (n + 1) неотрицательных целых чисел.
-
Лемма Йонеды и симплициальные множества
- n-симплексы симплициального множества X соответствуют естественным преобразованиям от Δn к X.
- X порождает категорию симплексов Δ↓X, где объекты — карты Δn → X, а морфизмы — естественные преобразования Δn → Δm.
-
Геометрическая реализация
- Функтор ||: sSet → CGHaus переводит симплициальное множество X в его реализацию в категории CGHaus.
- Реализация X — топологическое пространство, получаемое заменой n-симплексов X топологическими n-симплексами.
-
Сингулярное множество
- Сингулярное множество топологического пространства Y — симплициальное множество SY.
- Сингулярный функтор S прямо сопряжен с геометрической реализацией.
-
Гомотопическая теория симплициальных множеств
- Категория симплициальных множеств становится модельной категорией с расслоениями Кана.
- Геометрическая реализация расслоения Кана — расслоение пространств по Серру.
-
Симплициальные объекты
- Симплициальный объект X в категории C — контравариантный или ковариантный функтор.
- Симплициальные группы и абелевы группы содержат замкнутые модельные структуры.
-
История и использование симплициальных множеств
- Симплициальные множества использовались для описания классификационных пространств групп.
- Квиллен разработал методы манипулирования бесконечными симплициальными множествами.
- Симплициальные методы полезны для доказательства, что пространство является пространством циклов.
-
Современные применения
- Симплициальные множества используются в теории высших категорий и производной алгебраической геометрии.
- Квазикатегории определяются как симплициальные множества, удовлетворяющие слабому условию Кана.