Сингулярный интеграл
-
Сингулярные интегралы в гармоническом анализе
- Сингулярные интегралы связаны с дифференциальными уравнениями в частных производных
- Функция ядра K сингулярна вдоль диагонали x = y
- Интегралы не могут быть абсолютно интегрируемыми, требуется дополнительное допущение
-
Преобразование Гильберта
- Архетипический сингулярный интегральный оператор
- Определяется сверткой с ядром K(x) = 1/(nx)
- Ограничен на Lp и удовлетворяет оценкам слабого типа
-
Сингулярные интегралы типа свертки
- Оператор T определяется сверткой с ядром K, локально интегрируемым на Rn \ {0}
- Условие размера для преобразования Фурье K
- Условие гладкости: отхлебывать y ≠ 0 ∫ |x| > 2|y| |K(x-y) − K(x)| dx ≤ C
- T ограничен на Lp и удовлетворяет оценке слабого типа
-
Сингулярные интегралы несверточного типа
- Более общие операторы, не обязательно ограниченные Lp
- Ядра Кальдерона–Зигмунда удовлетворяют определенным условиям
- Сингулярные интегралы несверточного типа связаны с ядром Кальдерона–Зигмунда
-
Операторы Кальдерона–Зигмунда
- Сингулярный интеграл несверточного типа ограничен на L2
- Теорема T(b) предоставляет достаточные условия для ограниченности на L2
-
Нормализованные выпуклости и аккретивные функции
- Нормализованная выпуклость: гладкая функция φ от Rn, поддерживаемая шаром радиуса 1
- Аккретивная функция: Re(b)(x) ≥ c для всех x в R
-
Теорема T(b)
- Оператор T ограничен на L2, если удовлетворяет трем условиям
- Mb2TMb1 слабо ограничен
- T(b1) находится в BMO
- Tt(b2) находится в BMO