Оглавление
- 1 Система санкционирования
- 1.1 Понятие системы импримитивности
- 1.2 Простейший случай: конечные группы
- 1.3 Обобщение на другие случаи
- 1.4 Пример: конечные группы и их представления
- 1.5 Индуцированные представления
- 1.6 Бесконечномерные системы импримитивности
- 1.7 Определение системы импримитивности
- 1.8 Однородные системы импримитивности
- 1.9 Структура однородных систем импримитивности
- 1.10 Индуцированные представления и неприводимость
- 1.11 Системы импримитивности и представления групп
- 1.12 Теорема о биекции
- 1.13 Эргодические квазиинвариантные меры
- 1.14 Пример: группа Гейзенберга
- 1.15 Классификация представлений группы Гейзенберга
- 1.16 Рекомендации
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Система импримитивности
Система санкционирования
-
Понятие системы импримитивности
- Используется в теории групповых представлений
- Основано на теории индуцированных унитарных представлений
-
Простейший случай: конечные группы
- Левые смежные классы H в G являются объединением левых смежных классов K
- Представление перестановок в смежных классах является частным случаем индуцированного представления
-
Обобщение на другие случаи
- Переформулировка в терминах функций от постоянной G на K-смежных наборах
- Переформулировка в терминах проекционных операторов
-
Пример: конечные группы и их представления
- Система импримитивности (U, X) для G
- Пробелы W для W ∈ X должны охватывать область H
- Пространства W ∈ X должны быть линейно независимыми
-
Индуцированные представления
- Представление U из G индуцируется из представления V из G0
- Существует переходная система импримитивности и подпространство W0
- V эквивалентно представлению G0 на W0
-
Бесконечномерные системы импримитивности
- Замена множества X векторных подпространств на представление U
- Правильная формулировка в терминах прогнозных показателей
-
Определение системы импримитивности
- Группа lcsc G, действующая в стандартном борелевском пространстве X
- Сильно непрерывное унитарное представление U и проекционная мера π
-
Однородные системы импримитивности
- Система импримитивности однородна по кратности n
- X распадается на счетное непересекающееся семейство борелевских множеств
- Любая система импримитивности представляет собой ортогональную прямую сумму однородных систем
-
Структура однородных систем импримитивности
- Унитарный коцикл Φ соответствует системе импримитивности (U, π)
- Любая однородная система импримитивности имеет такую форму для некоторой меры μ
-
Индуцированные представления и неприводимость
- Подгруппа неподвижных точек Gx является замкнутой подгруппой G
- Существует биекция между унитарными классами эквивалентности систем импримитивности и представлений Gx
- Система импримитивности неприводима тогда и только тогда, когда соответствующее представление Gx неприводимо
-
Системы импримитивности и представления групп
- Системы импримитивности возникают при определении представлений группы G.
- G является полупрямым произведением абелевой группы N на группу H.
- N является нормальной подгруппой G, а H действует на N посредством автоморфизмов.
-
Теорема о биекции
- Существует биекция между унитарными классами эквивалентности представлений G и систем импримитивности.
- Соответствие сохраняет переплетающиеся операторы.
- Представление G неприводимо тогда и только тогда, когда соответствующая система импримитивности неприводима.
-
Эргодические квазиинвариантные меры
- Каждая эргодическая квазиинвариантная мера на X является транзитивной.
- Каждая мера является образом меры Хаара по X с помощью карты.
- Необходимое условие: наличие счетного множества H-инвариантных борелевских множеств.
-
Пример: группа Гейзенберга
- Группа Гейзенберга является полупрямым произведением H и N.
- H действует на двойственное значение R2 путем умножения на матрицу транспонирования.
- Орбиты делятся на два класса: горизонтальная линия и единственная точка.
- Подгруппы с фиксированной точкой делятся на тривиальную подгруппу и саму группу H.
-
Классификация представлений группы Гейзенберга
- Неприводимые представления параметризуются набором из R − {0} и пар (x0, λ) ∈ R × R.
- x0 – абсцисса одноточечной орбиты на оси x, λ – элемент дуальности H.
- Представления задаются явными формулами, описывающими ограничения на N и H.
-
Рекомендации
- G. W. Макки, Теория представлений унитарных групп.
- V. S. Варадараджан, Геометрия квантовой теории.
- Дэвид Эдвардс, “Математические основы квантовой механики”.