Оглавление
Разновидность Фано
-
Определение многообразия Фано
- Многообразие Фано — алгебраическое многообразие, обобщающее полные пересечения алгебраических гиперповерхностей.
- Сумма степеней гиперповерхностей не должна превышать размерности окружающего проективного пространства.
- Формально, многообразие Фано — это полное многообразие X с достаточно большим антиканоническим расслоением KX *.
-
Примеры многообразий Фано
- Проективные пространства Pn являются фундаментальным примером многообразий Фано.
- Взвешенное проективное пространство P(a0,…,an) также является сингулярным многообразием Фано.
- Каждое проективное многообразие с нулевой характеристикой, однородное относительно линейной алгебраической группы, называется Фано.
-
Свойства многообразий Фано
- Существование обширного линейного расслоения эквивалентно проективности многообразия.
- Теорема Кодайры об обращении в нуль утверждает, что группы когомологий структурного пучка обращаются в нуль для j > 0.
- Род Тоддов многообразия Фано равен 1.
- Гладкое комплексное многообразие допускает келеровские метрики положительного кривизны Риччи тогда и только тогда, когда это кривизна Фано.
- Универсальное покрытие многообразия Фано компактно и может быть только конечным покрытием.
- Каждое многообразие Фано односвязно.
- Каждая разновидность Фано имеет размерность Кодайры −∞.
-
Классификация по малым размерам
- Кривая Фано изоморфна проективной прямой.
- Поверхность Фано также называется поверхностью дель Пеццо и изоморфна либо P1 × P1, либо проективной плоскости, раздутой не более чем в восьми точках.
- В размерности 3 существуют гладкие комплексные многообразия Фано, которые не являются рациональными.
- Исковских классифицировал гладкие 3-складки Фано со вторым номером Бетти 1 на 17 классов.
- Мори и Мукаи классифицировали гладкие 3-складки со вторым номером Бетти не менее 2, найдя 88 классов деформации.
-
Дополнительные ресурсы
- Периодическая таблица форм — проект по классификации всех разновидностей Фано в трех, четырех и пяти измерениях.
- Фанография — инструмент для визуального изучения классификации трехмерных разновидностей Фано.