Оглавление
- 1 Спектр кольца
- 1.1 Основной спектр и топология Зариски
- 1.2 Пучки и схемы
- 1.3 Функциональная перспектива
- 1.4 Мотивация из алгебраической геометрии
- 1.5 Примеры
- 1.6 Основные понятия
- 1.7 Неаффинные примеры
- 1.8 Топологии на простых спектрах
- 1.9 Глобальная или относительная спецификация
- 1.10 Пример относительной спецификации
- 1.11 Перспектива теории представлений
- 1.12 Перспектива функционального анализа
- 1.13 Алгебраическая и геометрическая кратность
- 1.14 Обобщения спектра
- 1.15 Дополнительные понятия
- 1.16 Рекомендации и внешние ссылки
- 1.17 Полный текст статьи:
- 2 Спектр кольца
Спектр кольца
-
Основной спектр и топология Зариски
- Основной спектр коммутативного кольца R — множество всех простых идеалов R.
- Топология Зариски определяется на множестве простых идеалов, содержащих данный идеал.
- Спекуляция (R) является компактным пространством, но не Хаусдорфовым.
-
Пучки и схемы
- Структурный пучок O на Спекуляции (R) определяется на выделенных открытых подмножествах.
- Пучок O является B-связью и определяет связку.
- Спекуляция (R) — замкнутое пространство, изоморфное аффинной схеме.
-
Функциональная перспектива
- Спекуляция является функтором от категории коммутативных колец к категории топологических пространств.
- Функтор Спекуляция приводит к контравариантной эквивалентности между категориями коммутативных колец и аффинных схем.
-
Мотивация из алгебраической геометрии
- В алгебраической геометрии изучаются алгебраические множества как подмножества K^n.
- Спектр R состоит из точек A и элементов для всех неприводимых подмногообразий A.
- Топология Зариски на Спекуляции (R) совпадает с топологией Зариски на алгебраических множествах.
-
Примеры
- Спектр целых чисел: аффинная схема Спекуляция (Z) является конечным объектом в категории аффинных схем.
- Теоретико-схемный аналог C^n: аффинная схема A^n = Спекуляция (C[x1, …, xn]).
- Крест: Спекуляция (C[x, y]/(xy)) топологически выглядит как поперечное пересечение двух сложных плоскостей в одной точке.
-
Основные понятия
- Основной спектр булева кольца — компактное, полностью несвязанное хаусдорфово пространство.
- Топологическое пространство гомеоморфно простому спектру коммутативного кольца, если оно компактно, квазираздельно и строго определено.
-
Неаффинные примеры
- Проективное n-пространство Pkn не является аффинным.
- Аффинная плоскость за вычетом начала координат не является аффинной.
-
Топологии на простых спектрах
- Конструктивная топология: подмножества Спекуляция(A) удовлетворяют аксиомам замкнутых множеств.
- Патч-топология: множества форм V(I) и Спекуляция(A)-V(f) закрыты.
-
Глобальная или относительная спецификация
- Относительная спецификация: функтор Спекуляция_S, где S — схема.
- Глобальная спецификация: контравариантное правое сопряжение между категорией коммутативных колец и схем.
-
Пример относительной спецификации
- Параметризация семейства линий через начало A2 над P1.
- Обобщение для параметризации семейства линий через начало An+1 над Pn.
-
Перспектива теории представлений
- Простой идеал I соответствует модулю R/I, спектр кольца — неприводимым циклическим представлениям R.
- Связь с теорией представлений через кольцо многочленов R = K[x1, …, xn].
-
Перспектива функционального анализа
- Термин “спектр” используется в теории операторов.
- Спектр K[T] равен спектру T.
- Геометрическая структура спектра кольца отражает поведение спектра оператора.
-
Алгебраическая и геометрическая кратность
- Алгебраическая кратность 2, геометрическая кратность 1
- Собственные значения оператора соответствуют точкам многообразия с кратностью
- Первичная декомпозиция модуля соответствует нередуцированным точкам многообразия
- Диагонализируемый оператор соответствует уменьшенному многообразию
- Циклический модуль соответствует оператору с циклическим вектором
-
Обобщения спектра
- Спектр может быть обобщен от колец до C *-алгебр
- Хаусдорфово пространство имеет коммутативную C *-алгебру скаляров
- Любая коммутативная C *-алгебра может быть реализована как алгебра скаляров хаусдорфова пространства
- Обобщение на некоммутативные C *-алгебры дает некоммутативную топологию
-
Дополнительные понятия
- Схема (математическая)
- Проективная схема
- Спектр матрицы
- Теорема Серра об афинности
- Высший спектр
- Спектр Циглера
- Примитивный спектр
- Каменная двойственность
-
Рекомендации и внешние ссылки
- Ссылки на дополнительные материалы и внешние ресурсы