Оглавление
Бревенчатая структура
-
Логарифмическая структура в алгебраической геометрии
- Логарифмическая структура предоставляет абстрактный контекст для изучения полустабильных схем и логарифмических дифференциальных форм.
- Применяется в теории пространств модулей, теории деформаций и p-адической теории Ходжа Фонтейна.
-
Мотивация
- Идея состоит в изучении гладкого, но не обязательно правильного многообразия U, вложенного в правильное многообразие X.
- Проблема в том, что подсистема функций, ограниченных на U, не является связкой колец.
- Логарифмическая структура запоминает включение U в X, сравнивая X с многообразием с границей.
-
Определение
- Предварительная логарифмическая структура на X состоит из пучка моноидов M и гомоморфизма моноидов α.
- Логарифмическая структура требует, чтобы α индуцировал изоморфизм α: α−1(OX×) → OX×.
- Морфизм логарифмических структур — это гомоморфизм пучков моноидов, коммутирующий с соответствующими гомоморфизмами в OX.
- Логарифмическая схема — это схема с логарифмической структурой.
-
Примеры
- Тривиальная логарифмическая структура на X: M = OX× и α = включение.
- Каноническая структура журнала для X с делителем D: M = OX∩j∗OX×, α = морфизм включения.
- Каноническая структура журнала на Spec(R): включение R∖{0} внутри R.
-
Приложения
- Логарифмические формы определяются на логарифмических схемах.
- Логарифмическая гладкость и высотность обобщают понятия гладких и высотных морфизмов.
- Логарифмические структуры позволяют изучать теорию деформации.
- Логарифмические структуры определяют смешанную структуру Ходжа на гладких комплексных многообразиях.
- Логарифмические объекты отображаются как объекты на границе пространств модулей.
- Логарифмически-кристаллические когомологии аналогичны кристаллическим когомологиям и связаны с теорией представлений Галуа.