Подчиненный
-
Определение выпуклой функции
- Функция f:I→R называется выпуклой, если для всех x,y∈I выполняется неравенство f(tx+(1-t)y)≤tf(x)+(1-t)f(y)
-
Свойства выпуклых функций
- Выпуклая функция является непрерывной и строго возрастающей на открытом интервале
- Выпуклая функция имеет непустой открытый интервал значений
- Выпуклая функция имеет производную в каждой точке интервала
-
Субдифференциал выпуклой функции
- Субдифференциал функции f в точке x0 — это множество всех производных в этой точке
- Если функция дифференцируема в точке x0, то субдифференциал состоит из одного числа
- Если функция имеет субдифференциал, то он непустой и выпуклый
-
Пример выпуклой функции
- Функция f(x)=|x| является выпуклой, и ее субдифференциал в начале координат равен [-1,1]
-
Свойства дифференцируемости
- Функция дифференцируема в точке x0 тогда и только тогда, когда ее субдифференциал содержит только одно число
- Точка x0 является глобальным минимумом функции f тогда и только тогда, когда в ее субдифференциале содержится ноль
-
Обобщение субдифференциала
- Субдифференциал суммы двух выпуклых функций равен сумме их субдифференциалов
- Субдифференциал выпуклой функции на множестве в локально выпуклом пространстве также является выпуклым множеством
-
История и обобщения
- Субдифференциал был введен в начале 1960-х годов Жан-Жаком Моро и Р. Тирреллом Рокафелларом
- Обобщение субдифференциала для невыпуклых функций было введено в начале 1980-х годов Ф.Х. Кларком и Р.Т. Рокафелларом