Оглавление
Суперкоммутативная алгебра
-
Определение суперкоммутативной алгебры
- Суперкоммутативная алгебра — это супералгебра с Z2-градуировкой.
- Для любых двух однородных элементов x и y выполняется условие
-
Эквивалентные определения
- Суперкоммутатор всегда исчезает.
- Алгебраические структуры, суперкоммутирующие в этом смысле, называются косокоммутативными ассоциативными алгебрами.
-
Примеры суперкоммутативных алгебр
- Любая коммутативная алгебра является суперкоммутативной при тривиальной градуировке.
- Алгебры Грассмана (внешние алгебры) — наиболее распространенные примеры нетривиальных суперкоммутативных алгебр.
-
Суперцентр и подалгебры
- Суперцентр — это набор элементов, суперкоммутирующих со всеми элементами.
- Четная подалгебра суперкоммутативной алгебры всегда коммутативна.
- Нечетные элементы всегда противоречат друг другу.
-
Свойства нечетных элементов
- Квадрат любого нечетного элемента x обращается в нуль при обратимости 2.
- Коммутативная супералгебра с 2 обратимыми компонентами и одной ненулевой степенью содержит нильпотентные элементы.
-
Альтернирующие алгебры
- Z-градуированная антикоммутативная алгебра с x2 = 0 для каждого элемента x нечетной степени называется альтернирующей алгеброй.