Теорема Ботта о периодичности
-
Теорема Ботта о периодичности
- Описывает периодичность в гомотопических группах классических групп
- Основополагающая для K-теории и устойчивых гомотопических групп
-
Периодичность Ботта
- Проявляется как явление периода-2 для унитарной группы
- Соответствующие явления периода-8 для ортогональной и симплектической групп
-
J-гомоморфизм
- Гомоморфизм от гомотопических групп ортогональных групп к стабильным гомотопическим группам сфер
- Приводит к периодичности Ботта с периодом 8 в стабильных гомотопических группах сфер
-
Контекст и значение
- Гомотопические группы сфер оказались неуловимыми
- Стабильная теория упростила вычисления, но оставалась сложной
- Периодичность Ботта дала представление о нетривиальных пространствах
-
Циклические пространства и классификационные пространства
- Для унитарной группы пространство BU является классифицирующим для стабильных комплексных векторных расслоений
- Периодичность Ботта утверждает, что пространство с двойным циклом BU гомотопически эквивалентно объединению счетного числа копий BU
- Для ортогональной группы пространство BO является классифицирующим для устойчивых вещественных векторных расслоений
- Периодичность Ботта утверждает, что пространство с 8-кратным циклом BO гомотопически эквивалентно объединению счетного числа копий BO
- Для симплектической группы пространство BSp является классифицирующим для стабильных кватернионных векторных расслоений
- Периодичность Ботта утверждает, что пространство с 8-кратным циклом BSp гомотопически эквивалентно объединению счетного числа копий BSp
-
Геометрическая модель замкнутых пространств
- Циклические пространства гомотопически эквивалентны симметричным пространствам последовательных частных с дополнительными дискретными множителями Z
- Эти последовательности соответствуют последовательностям в алгебрах Клиффорда
- Результаты периодичности Ботта уточняются до последовательности гомотопических эквивалентностей
-
Доказательства
- Первоначальное доказательство Ботта основывалось на теории Морса
- Было приведено много различных доказательств