Теорема Гаусса–Бонне
-
Основные факты о теореме Гаусса-Бонне
- Теорема связывает гауссову кривизну и эйлерову характеристику на компактных поверхностях.
- Интеграл от гауссовой кривизны вдоль границы поверхности равен 2π эйлеровой характеристике.
- Общая гауссова кривизна замкнутой поверхности равна 2π эйлеровой характеристике.
-
Интерпретация и значение
- Теорема применима к компактным поверхностям без границ, где интеграл от кривизны можно опустить.
- Общая кривизна остается неизменной при деформации поверхности, что важно для топологии.
-
Особые случаи и комбинаторные аналоги
- Теорема может быть применена к геодезическим треугольникам и многогранникам, где сумма углов равна 2π.
- Существуют комбинаторные аналоги теоремы, связывающие количество треугольников и эйлерову характеристику.
-
Обобщения и применение в массовой культуре
- Теорема Черна является обобщением на 2n-мерные многообразия.
- Теорема Римана-Роха и неравенство Кона-Воссена также являются обобщениями.
- Теорема используется в искусстве и скульптуре для управления формой.