Теорема Хана–Банаха – Arc.Ask3.Ru

От / / Оставьте комментарий

Оглавление1 Теорема Хана–Банаха1.1 История теоремы Хана–Банаха1.2 Основные понятия1.3 История и развитие1.4 Функциональная задача1.5 Теорема о доминирующем расширении1.6 Выпуклые функции и […]

'Линейная алгебра', 'Линейные функционалы', 'Теоремы функционального анализа', 'Топологические векторные пространства', Linear algebra, Linear functionals, Theorems in functional analysis, Topological vector spaces

Оглавление

Теорема Хана–Банаха

  • История теоремы Хана–Банаха

    • Теорема названа в честь Ганса Хана и Стефана Банаха.  
    • Частный случай для пространства C[a,b] доказан Эдуардом Хелли в 1912 году.  
    • Хан и Банах независимо доказали теорему в конце 1920-х годов.  

  • Основные понятия

    • Теорема Хана–Банаха позволяет распространить ограниченные линейные функционалы на все пространство.  
    • Теорема о разделении Хана–Банаха имеет множество применений в выпуклой геометрии.  

  • История и развитие

    • Хелли доказал частный случай теоремы в 1912 году.  
    • Рисс доказал теорему о расширении в 1923 году.  
    • Хан и Банах обобщили теорему в 1927 и 1929 годах соответственно.  

  • Функциональная задача

    • Теорема формулирует общую функциональную задачу и её решение.  
    • Теорема Хана–Банаха может быть выведена из этой задачи.  

  • Теорема о доминирующем расширении

    • Вещественнозначная функция доминирует над другой, если она меньше или равна ей.  
    • Теорема о доминирующем расширении утверждает, что любой линейный функционал, доминируемый сублинейной функцией, имеет линейное продолжение, доминируемое той же функцией.  

  • Выпуклые функции и полунормы

    • Выпуклые функции удовлетворяют определенным условиям, включая p(0) ≤ 0.  
    • Каждая сублинейная функция является выпуклой, но не наоборот.  
    • Каждая норма является полунормой, но не наоборот.  

  • Альтернативное утверждение теоремы Хана–Банаха

    • Теорема Хана–Банаха для полунорм утверждает, что любой линейный функционал, доминируемый полунормой, имеет линейное продолжение, доминируемое той же полунормой.  

  • Теорема Хана–Банаха для комплексных векторных пространств

    • Линейный функционал F: X → C полностью определяется своей вещественной частью Re F: X → R.  
    • Если p: X → R является полунормой, то |F| ≤ p тогда и только тогда, когда Re F ≤ p.  
    • Если f: M → C удовлетворяет |f| ≤ p на M, то существует линейный функционал F: X → C, расширяющий f и удовлетворяющий |F| ≤ p на X.  

  • Непрерывность линейных функционалов

    • Линейный функционал F на топологическом векторном пространстве непрерывен тогда и только тогда, когда его вещественная часть Re F непрерывна.  
    • Если p: X → R является непрерывной сублинейной функцией, доминирующей над F, то F также непрерывна.  

  • Доказательство теоремы Хана–Банаха

    • Теорема Хана–Банаха для вещественных векторных пространств вытекает из леммы об одномерном доминирующем расширении.  
    • Лемма утверждает, что для любого линейного функционала f: M → R, удовлетворяющего |f| ≤ p на M, существует линейное расширение F: M ⊕ Rx → R, удовлетворяющее |F| ≤ p на M ⊕ Rx.  
    • Доказательство леммы основано на выборе действительного числа b, удовлетворяющего решающему неравенству.  

  • Лемма о доминирующем расширении

    • Лемма утверждает, что для выпуклой функции p и линейного функционала f на M, существует линейное расширение F, такое что F ≤ p и F(m + rx) ≤ p(m + rx) − f(m) для всех m ∈ M и r > 0.  
    • Лемма используется для доказательства теоремы Хана-Банаха.  

  • Теорема Хана-Банаха

    • Теорема утверждает, что для любого линейного функционала f на векторном подпространстве M локально выпуклого топологического векторного пространства X, существует линейное расширение F на X, такое что F ≤ f и F(m + rx) ≤ f(m) + rb для всех m ∈ M и r > 0.  
    • Теорема может быть доказана с помощью леммы Цорна или леммы об ультрафильтре.  

  • Теорема о непрерывном продолжении

    • Теорема утверждает, что для любого непрерывного линейного функционала f на векторном подпространстве M нормированного пространства X, существует непрерывное линейное расширение F на X, такое что F ≤ f и ‖F‖ = ‖f‖.  
    • Доказательство использует теорему Хана-Банаха и полунорму ‖f‖‖⋅‖.  

  • Доказательство теоремы о непрерывном продолжении

    • Линейный функционал f на нормированном пространстве является непрерывным тогда и только тогда, когда его двойная норма конечна.  
    • Если F является линейным продолжением f, то их двойные нормы удовлетворяют ‖f‖ ≤ ‖F‖.  
    • Равенство ‖f‖ = ‖F‖ эквивалентно ‖F‖ ≤ ‖f‖, что выполняется тогда и только тогда, когда |F(x)| ≤ ‖f‖‖x‖ для каждой точки x в домене расширения.  
    • Применяя теорему Хана-Банаха с полунормой ‖f‖‖⋅‖, получаем доминирующее линейное расширение, норма которого равна норме f.  

  • Теорема о непрерывном расширении

    • Линейный функционал F ограничен и непрерывен, если его норма ‖F‖ ≤ ‖f‖.  
    • Если X не локально выпукло, теорема может не работать.  

  • Нелокально выпуклые пространства

    • Пространство Лебега Lp([0,1]) не локально выпукло, но имеет непрерывные линейные функционалы.  
    • Теорема Хана-Банаха не всегда применима в нелокально выпуклых пространствах.  

  • Геометрический закон Хана-Банаха

    • Теорема о разделении Хана-Банаха утверждает, что выпуклые множества могут быть разделены линейными функционалами.  
    • Теорема Мазура утверждает, что векторные подпространства могут быть охарактеризованы линейными функционалами.  

  • Приложения

    • Линейные подпространства характеризуются непрерывными линейными отображениями.  
    • Теорема Хана-Банаха важна для понимания пространства через его непрерывные функционалы.  

  • Теорема Хана–Банаха

    • Теорема утверждает, что естественная инъекция из нормированного пространства в его двойственное дуальное является изометрической.  
    • Это позволяет использовать теорему для поиска более “приятной” топологии.  

  • Геометрический закон Хана–Банаха

    • Если пространство не является хаусдорфовым или локально выпуклым, но имеет непустое, правильное, выпуклое, открытое множество M, то существует гиперплоскость, отделяющая M от любой другой точки.  
    • Это означает, что на X должен существовать ненулевой функционал, что делает X локально выпуклым.  

  • Применение в дифференциальных уравнениях

    • Теорема Хана–Банаха полезна для решения линейных дифференциальных уравнений.  
    • Если у нас есть контроль над размером u, то можно использовать теорему для распространения функционала на всю кодовую область X.  

  • Характеризующие рефлексивные банаховы пространства

    • Вещественное Банахово пространство является рефлексивным тогда и только тогда, когда каждая пара непустых непересекающихся замкнутых выпуклых подмножеств, одно из которых ограничено, может быть строго разделена гиперплоскостью.  

  • Пример из теории Фредгольма

    • Теорема Хана–Банаха используется для доказательства, что каждое замкнутое векторное подпространство R^N дополняется.  

  • Обобщения теоремы Хана–Банаха

    • Существует множество версий теоремы Хана–Банаха, включая теорему для полунорм и теорему о сэндвиче.  
    • Теорема о сэндвиче утверждает существование линейного функционала, который расширяет заданный функционал и удовлетворяет определенным условиям.  
    • Теорема Анденаеса утверждает существование максимального доминирующего линейного расширения заданного функционала.  

  • Теорема Хана–Банаха

    • Если X и Y — векторные пространства над одним полем, и f: M → Y — линейная карта, определенная в M, то существует линейная карта F: X → Y, расширяющая f.  
    • Набор Γ из карт X → X коммутативен, если F ∘ G = G ∘ F для всех F, G ∈ Γ.  
    • Функция f, определенная для подмножества M от X, является Γ-инвариантной, если L(M) ⊆ M и f ∘ L = f на M для каждого L ∈ Γ.  

  • Инвариантная теорема Хана–Банаха

    • Если Γ — коммутативный набор непрерывных линейных отображений из нормированного пространства X в себя, и f — непрерывный линейный функционал, определяемый M, то f имеет непрерывное линейное расширение F для всех X, имеющее ту же норму оператора и также являющееся Γ-инвариантным.  

  • Теорема Мазура–Орлича

    • Если p: X → R — сублинейная функция, T — любой набор, R: T → R и v: T → X — любые карты, то существует вещественнозначный линейный функционал F на X такой, что F ≤ p на X и R ≤ F ∘ v на T.  

  • Принцип расширения

    • Если f — скалярнозначная функция на подмножестве S из топологического векторного пространства X, то существует непрерывный линейный функционал F на X, расширяющий f, тогда и только тогда, когда существует непрерывная полунорма p на X такая, что |∑i=1n aif(s_i)| ≤ p(∑i=1n ais_i) для всех натуральных чисел n и всех конечных последовательностей a_1, …, a_n из скаляров и элементов s_1, …, s_n из S.  

  • Свойства расширения и разделения

    • Векторное подпространство M в X обладает свойством расширения, если любой непрерывный линейный функционал в M может быть расширен до непрерывного линейного функционала в X.  
    • X обладает свойством расширения Хана–Банаха (HBEP), если каждое векторное подпространство в X обладает свойством расширения.  
    • Векторное подпространство M TVS X обладает свойством разделения, если для каждого элемента X, x ∉ M, существует непрерывный линейный функционал f на X такой, что f(x) ≠ 0 и f(m) = 0 для всех m ∈ M.  

  • Связь с аксиомой выбора и другими теоремами

    • Теорема Хана–Банаха для вещественных векторных пространств обычно доказывается с использованием леммы Цорна, эквивалентной аксиоме выбора.  
    • Лось и Рилл-Нардзевский и Люксембург независимо доказали теорему, используя лемму об ультрафильтре, эквивалентную теореме о булевом простом идеале.  
    • Теорема Банаха–Алаоглу подразумевает HB, но не эквивалентна ей.  
    • HB эквивалентна утверждению о существовании множества, не поддающегося измерению по Лебегу, и подразумевает парадокс Банаха–Тарского.  
    • Для разделимых банаховых пространств HB следует из WKL0, слабой подсистемы арифметики второго порядка.  

Полный текст статьи:

Теорема Хана–Банаха – Arc.Ask3.Ru

Похожие статьи:

  1. Метризуемое топологическое векторное пространство – Arc.Ask3.Ru Оглавление1 Метризуемое топологическое векторное пространство1.1 Метризуемые и псевдометризуемые топологические векторные пространства1.2 Псевдометрия и её свойства1.3 Псевдометрическое...
  2. Метризуемое топологическое векторное пространство Оглавление1 Метризуемое топологическое векторное пространство1.1 Метризуемые и псевдометризуемые топологические векторные пространства1.2 Псевдометрия и её свойства1.3 Псевдометрическое...
  3. Метризуемое топологическое векторное пространство – Arc.Ask3.Ru Оглавление1 Метризуемое топологическое векторное пространство1.1 Метризуемые и псевдометризуемые топологические векторные пространства1.2 Псевдометрия и её свойства1.3 Псевдометрическое...
  4. Непрерывный линейный оператор Оглавление1 Непрерывный линейный оператор1.1 Непрерывные линейные операторы1.2 Характеристики непрерывности1.3 Ограниченные подмножества и функции1.4 Ограниченные линейные операторы1.5...
  5. Локально выпуклое топологическое векторное пространство Оглавление1 Локально выпуклое топологическое векторное пространство1.1 Определение локально выпуклых топологических векторных пространств1.2 История и развитие1.3 Определение...
  6. Функционал Минковского . Оглавление1 Функционал Минковского1.1 Определение функционала Минковского1.2 Свойства функционала Минковского1.3 Примеры и мотивирующие примеры1.4 Условия, гарантирующие полунорму1.5...
  7. Теорема Урсеску Оглавление1 Теорема Урсеску1.1 Определение и свойства выпуклых множеств1.2 Теорема о выпуклых множествах1.3 Теорема о пересечении выпуклых...
  8. Сублинейная функция Оглавление1 Сублинейная функция1.1 Определение сублинейной функции1.2 Свойства сублинейных функций1.3 Примеры и достаточные условия1.4 Свойства и следствия1.5...
  9. Гильбертово пространство – Arc.Ask3.Ru Оглавление1 Гильбертово пространство1.1 Определение гильбертовых пространств1.2 История и применение1.3 Примеры и свойства1.4 Внутреннее произведение и норма1.5...
  10. Вспомогательное нормированное пространство Оглавление1 Вспомогательное нормированное пространство1.1 Методы построения нормированных пространств из дисков1.2 Полунормированные пространства, индуцированные диском1.3 Топология полунормированных...
  11. Вспомогательное нормированное пространство Оглавление1 Вспомогательное нормированное пространство1.1 Методы построения нормированных пространств из дисков1.2 Полунормированные пространства, индуцированные диском1.3 Топология полунормированных...
  12. Сеть (математика) Оглавление1 Сеть (математика)1.1 Определение сетей1.2 История и терминология1.3 Направленные множества1.4 Пределы действия сетей1.5 Точки скопления сетей1.6...
  13. Теорема Столлингса о концах групп Оглавление1 Теорема Столлингса о концах групп1.1 Теорема Столлингса о концах групп1.2 Концы графиков1.3 Концы групп1.4 Теоремы...
  14. Космос (математика) Оглавление1 Space (mathematics)1.1 Определение пространства1.2 Структура пространства1.3 История1.4 Золотой век геометрии1.5 Современные определения1.6 Классификация пространств1.7 Классификация...
  15. Теоремы Силова Оглавление1 Теоремы Силова1.1 Теоремы Силова1.2 Определение силовских подгрупп1.3 Теорема Лагранжа1.4 Теорема Силова (1)1.5 Теорема Коши1.6 Теорема...
  16. Теорема открытого отображения (функциональный анализ) Оглавление1 Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)1.1 Теорема об открытом отображении1.2 Доказательство теоремы1.3 Следствия и формулировки1.4...
  17. Теорема Атьи–Зингера об индексе Оглавление1 Теорема об индексе Атии–Сингера1.1 Теорема об индексе Атии–Сингера1.2 История1.3 Символ дифференциального оператора1.4 Аналитический индекс1.5 Топологический...
  18. Простое число Оглавление1 Простое число1.1 Определение простых чисел1.2 История и развитие1.3 Методы проверки простоты1.4 Применение простых чисел1.5 Современные...
  19. Теорема Банаха о неподвижной точке Теорема Банаха о неподвижной точке Теорема Банаха о неподвижной точке позволяет доказать существование и единственность решений...
  20. Метрическое пространство Оглавление1 Метрическое пространство1.1 Определение метрического пространства1.2 Примеры метрических пространств1.3 Свойства метрических пространств1.4 Подпространства метрических пространств1.5 История...
  21. Теорема о разделении гиперплоскости Оглавление1 Теорема о разделении гиперплоскостей1.1 Теорема о разделении гиперплоскостей1.2 Доказательство теоремы1.3 Обобщение на бесконечномерные пространства1.4 Следствия...
  22. Теорема Хана о разложении Теорема о разложении Хана Статья представляет собой доказательство теоремы о разложении Хана для измеримых множеств.  Разложение...

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх