Оглавление
Коронная теорема
-
Определение и значение теоремы короны
- Коронная теорема – результат о спектре ограниченных голоморфных функций на единичном диске.
- Предложена Какутани (1941) и доказана Карлесоном (1962).
-
Структура и свойства пространства Харди H∞
- Включает ограниченные голоморфные функции на открытом единичном диске.
- Спектр S содержит D как открытое подпространство.
- D не может содержать весь спектр S из-за компактности последнего.
-
Доказательство теоремы короны
- Ньюман (1959) назвал дополнение к D в S короной.
- Теорема утверждает, что корона пуста, то есть D плотно в спектре.
- Элементарная формулировка: элементы f1,…,fn образуют единичный идеал H∞ при некотором δ>0.
-
Упрощение и обобщения
- Вольф (1979) предложил упрощенное доказательство, описанное в работах Koosis (1980) и Gamelin (1980).
- Коул показал, что результат не распространяется на все открытые римановы поверхности.
- В результате Карлесона введена мера Карлесона, полезная в теории функций.
-
Открытые вопросы
- Вопрос о существовании версий теоремы короны для плоских областей и областей более высокой размерности остается открытым.
- При непрерывности функций до границы теорема короны легко выводится из теории коммутативной банаховой алгебры.