Оглавление
- 1 Теорема о простых числах
- 1.1 Теорема о простых числах
- 1.2 Асимптотический закон распределения простых чисел
- 1.3 История доказательства
- 1.4 Доказательства Адамара и де ла Валле Пуссена
- 1.5 Современные доказательства
- 1.6 Эскиз доказательства
- 1.7 Доказательство Ньюмена теоремы о простых числах
- 1.8 Связь с логарифмическим интегралом
- 1.9 Гипотеза Римана и её значение
- 1.10 Нижние границы и асимптотика
- 1.11 История доказательства теоремы о простых числах
- 1.12 Споры о значении элементарных доказательств
- 1.13 Компьютерные проверки и формализации
- 1.14 Теорема о простых числах для арифметических прогрессий
- 1.15 Гонка простых чисел
- 1.16 Неасимптотические оценки функции подсчета простых чисел
- 1.17 Аппроксимации для n-го простого числа
- 1.18 Таблица значений π(x), x / log x и li(x)
- 1.19 Аналог неприводимых многочленов над конечным полем
- 1.20 Комбинаторный аргумент
- 1.21 Инверсия Мебиуса
- 1.22 Гипотеза Римана
- 1.23 Обобщения теоремы
- 1.24 Дополнительные ресурсы
- 1.25 Полный текст статьи:
- 2 Теорема о простых числах – Arc.Ask3.Ru
Теорема о простых числах
-
Теорема о простых числах
- Описывает асимптотическое распределение простых чисел между целыми положительными числами
- Доказана Жаком Адамаром и Шарлем Жаном де ла Валле Пуссеном в 1896 году
- Использует идеи Бернхарда Римана и дзета-функцию Римана
-
Асимптотический закон распределения простых чисел
- π(N) ~ N/log(N) при N достаточно большом
- Вероятность случайного целого числа, не превышающего N, быть простым близка к 1/log(N)
- Средний разрыв между последовательными простыми числами равен log(N)
-
История доказательства
- Адриен-Мари Лежандр предположил асимптотическую эквивалентность π(x) и x/log(x)
- Карл Фридрих Гаусс размышлял над этим вопросом в 1792-1793 годах
- Петер Густав Лежен Дирихле предложил логарифмический интеграл li(x)
- Пафнутий Чебышев использовал дзета-функцию для доказательства асимптотического закона
- Риман в 1859 году связал распределение простых чисел с нулями дзета-функции
-
Доказательства Адамара и де ла Валле Пуссена
- Использовали методы комплексного анализа
- Доказали асимптотический закон, установив, что дзета-функция отлична от нуля для всех комплексных значений s, кроме s = 1 + it при t > 0
-
Современные доказательства
- Атле Сельберг и Пол Эрдеш предложили “элементарные” доказательства
- Дональд Дж. Ньюман предложил краткое доказательство в 1980 году
-
Эскиз доказательства
- Переформулировка задачи в терминах функции Чебышева θ(x)
- Использование дзета-функции Римана для нахождения полезного представления для ψ(x)
- Анализ нулей дзета-функции для доказательства асимптотического закона
-
Доказательство Ньюмена теоремы о простых числах
- Ньюмен использует интегральную формулу Коши и интегральную теорему Коши для доказательства PNT.
- Функция Чебышева ϑ(x) используется вместо ψ(x).
- Доказательство основано на сходимости интеграла, который обращается в нуль при x → ∞.
-
Связь с логарифмическим интегралом
- Дирихле предположил, что π(x) ~ Li(x), где Li(x) — логарифмический интеграл смещения.
- Де ла Валле Пуссен доказал, что π(x) ~ Li(x) с некоторой константой a.
- Труджиан доказал верхнюю границу разницы между π(x) и Li(x) для x ≥ 229.
-
Гипотеза Римана и её значение
- Гипотеза Римана важна для теории чисел, так как она может улучшить оценки погрешности PNT.
- Хельге фон Кох показал, что гипотеза Римана может улучшить погрешность до O(x-1/2).
- Лоуэл Шенфельд оценил константу в гипотезе Римана для всех x ≥ 2657.
-
Нижние границы и асимптотика
- Логарифмический интеграл Li(x) больше π(x) при малых значениях x.
- Литтлвуд доказал, что π(x) − Li(x) бесконечно часто меняет знак.
- Первое значение x, при котором π(x) превышает Li(x), вероятно, около x ~ 10316.
-
История доказательства теоремы о простых числах
- Харди считал, что теорема о простых числах требует комплексного анализа.
- Доказательство Винера основано на тауберовой теореме и дзета-функции Римана.
- Сельберг и Эрдеш получили элементарные доказательства PNT в 1948 году.
-
Споры о значении элементарных доказательств
- Нет строгого определения “элементарного” доказательства.
- Доказательство Эрдеша и Сельберга может быть формализовано в арифметике Пеано.
- Эргодическая теория Рихтера также используется для доказательства PNT.
-
Компьютерные проверки и формализации
- Авигад и др. использовали Изабель для формализации доказательства Эрдеша-Сельберга.
- Харрисон использовал HOL Light для формализации доказательства с комплексным анализом.
-
Теорема о простых числах для арифметических прогрессий
- Дирихле и Лежандр предположили, что простые числа равномерно распределены между классами вычетов.
- Беннетт и др. доказали оценку распределения простых чисел.
-
Гонка простых чисел
- Литтлвуд показал, что лидерство в гонке простых чисел меняется бесконечно много раз.
- Распределение последней цифры простых чисел также интересно.
-
Неасимптотические оценки функции подсчета простых чисел
- Теорема о простых числах дает асимптотические оценки.
- Дюсарт доказал более точные оценки для π(x).
-
Аппроксимации для n-го простого числа
- Чезаро и Чиполла дали начальные члены бесконечного ряда для pn.
- Дюсарт и Экслер улучшили границы для pn.
-
Таблица значений π(x), x / log x и li(x)
- Сравниваются точные значения π(x) с приближениями x / log x и li(x).
- Значение π(1024) подтверждено.
-
Аналог неприводимых многочленов над конечным полем
- Существует аналог теоремы о простых числах для неприводимых многочленов.
- Вероятность того, что монический многочлен степени n будет неприводимым, составляет около 1/n.
-
Комбинаторный аргумент
- Каждый элемент расширения F степени n является корнем неприводимого многочлена степени d, делящей n
- Подсчет корней двумя способами показывает, что сумма равна всем делителям d из n
-
Инверсия Мебиуса
- Инверсия Мебиуса приводит к формуле, где μ(k) – функция Мебиуса
- Основной член встречается при d = n, остальные члены связаны
-
Гипотеза Римана
- Утверждение основано на том, что наибольший собственный делитель числа n не может быть больше n/2
-
Обобщения теоремы
- Абстрактная аналитическая теория чисел для обобщений
- Теорема Ландау о простых идеалах для обобщений на алгебраические числовые поля
-
Дополнительные ресурсы
- Таблица простых чисел Антона Фелькеля
- Видео, демонстрирующее теорему о простых числах
- Простые формулы и теорема о простых числах в MathWorld
- Сколько Всего Существует Простых Чисел?
- Таблицы функций подсчета простых чисел от Томаса Оливейры и Сильвы
- Теорема о простых числах (разработка формального доказательства в Isabelle / HOL)
- Теорема о простых числах: “элементарное” доказательство Атле Сельберга и Пола Эрдеша