Оглавление
Теорема о рациональном корне
-
Теорема о рациональном корне
- Устанавливает ограничение на рациональные решения полиномиального уравнения.
- Каждое рациональное решение x = p/q удовлетворяет: p делит a0 и q делит an.
- Частный случай леммы Гаусса о факторизации многочленов.
-
Применение теоремы
- Используется для нахождения всех рациональных корней многочлена.
- Дает конечное число возможных дробей для проверки.
- Если найден рациональный корень, можно извлечь линейный многочлен, используя многочленное деление.
-
Кубическое уравнение
- Общее кубическое уравнение имеет три решения в комплексной плоскости.
- Если тест на рациональный корень не находит рациональных решений, используются кубические корни.
- Если тест находит рациональное решение, можно избежать кубических корней, используя квадратичную формулу.
-
Доказательства
- Элементарное доказательство: умножение на qn и разложение на множители.
- Доказательство с использованием леммы Гаусса: умножение на Q[X] и Z[X].
-
Примеры
- В многочлене 2×3+x-1 нет рациональных корней.
- В многочлене x3-7x+6 рациональные корни: ±1, ±2, ±3, ±6.
- В многочлене 3×3-5×2+5x-2 рациональный корень: x = 2/3.