Теорема о сфере

Оглавление1 Теорема о сфере1.1 Теорема о сфере в римановой геометрии1.2 Контрпримеры и обобщения1.3 История теоремы1.4 Полный текст статьи:2 Теорема о […]

Теорема о сфере

  • Теорема о сфере в римановой геометрии

    • Ограничивает топологию многообразий с определенной границей кривизны 
    • Если M – полное, односвязное n-мерное многообразие с кривизной в интервале (1,4], то M гомеоморфно n-сфере 
    • Если M не гомеоморфно сфере, то невозможно наложить метрику с кривизной в четверть дюйма 
    • Если кривизна сечения принимает значения в замкнутом интервале [1,4], то вывод теоремы неверен 
  • Контрпримеры и обобщения

    • Комплексное проективное пространство с метрикой Фубини является контрпримером, где кривизны сечений варьируются от 1 до 4 
    • Существуют симметричные пространства первого ранга, которые также являются контрпримерами 
    • В 2007 году Саймон Брендл и Ричард Шон доказали, что M диффеоморфно n-сфере с ее стандартной гладкой структурой 
    • Их доказательство использует поток Риччи и более слабое предположение о точечном сжатии 
  • История теоремы

    • Хайнц Хопф предположил, что односвязное многообразие с суженной кривизной в сечении является сферой 
    • Гарри Раух показал, что односвязное многообразие с кривизной в интервале [3/4,1] гомеоморфно сфере 
    • Марсель Бергер и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы с оптимальной константой сжатия 
    • Бергер обсуждает историю теоремы в своей книге “Панорамный взгляд на риманову геометрию” 

Полный текст статьи:

Теорема о сфере

Оставьте комментарий