Оглавление
Теорема о сфере
-
Теорема о сфере в римановой геометрии
- Ограничивает топологию многообразий с определенной границей кривизны
- Если M – полное, односвязное n-мерное многообразие с кривизной в интервале (1,4], то M гомеоморфно n-сфере
- Если M не гомеоморфно сфере, то невозможно наложить метрику с кривизной в четверть дюйма
- Если кривизна сечения принимает значения в замкнутом интервале [1,4], то вывод теоремы неверен
-
Контрпримеры и обобщения
- Комплексное проективное пространство с метрикой Фубини является контрпримером, где кривизны сечений варьируются от 1 до 4
- Существуют симметричные пространства первого ранга, которые также являются контрпримерами
- В 2007 году Саймон Брендл и Ричард Шон доказали, что M диффеоморфно n-сфере с ее стандартной гладкой структурой
- Их доказательство использует поток Риччи и более слабое предположение о точечном сжатии
-
История теоремы
- Хайнц Хопф предположил, что односвязное многообразие с суженной кривизной в сечении является сферой
- Гарри Раух показал, что односвязное многообразие с кривизной в интервале [3/4,1] гомеоморфно сфере
- Марсель Бергер и Вильгельм Клингенберг доказали топологическую версию теоремы с оптимальной константой сжатия
- Бергер обсуждает историю теоремы в своей книге “Панорамный взгляд на риманову геометрию”