Оглавление
- 1 Теорема об инверсии Фурье
- 1.1 Теорема об обращении Фурье
- 1.2 Условия теоремы
- 1.3 Интегральная теорема Фурье
- 1.4 Доказательство интегральной теоремы
- 1.5 Обратное преобразование в терминах оператора flip
- 1.6 Двусторонний обратный
- 1.7 Условия для функции
- 1.8 Теорема об инверсии Фурье
- 1.9 Квадратичные интегрируемые функции
- 1.10 Закаленные распределения
- 1.11 Отношение к ряду Фурье
- 1.12 Приложения
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Теорема обращения Фурье – Arc.Ask3.Ru
Теорема об инверсии Фурье
-
Теорема об обращении Фурье
- Теорема утверждает, что функцию можно восстановить из её преобразования Фурье.
- Преобразование Фурье определяется как интеграл от функции по комплексной плоскости.
-
Условия теоремы
- Функция должна быть абсолютно интегрируемой и непрерывной в точке x.
- Преобразование Фурье также должно быть абсолютно интегрируемым.
-
Интегральная теорема Фурье
- Обратное преобразование Фурье можно выразить через интеграл.
- Для любой интегрируемой функции g и всех x ∈ R, интеграл от g(ξ) по ξ равен f(x).
-
Доказательство интегральной теоремы
- Используются факты о преобразовании Фурье и интегралах.
- Определяются функции φ и φε, которые сходятся к тождеству при ε → 0.
- Интеграл от e2πix⋅ξ(Ff)(ξ)dξ сходится к f(x) при ε → 0.
-
Обратное преобразование в терминах оператора flip
- Оператор flip определяется как Rf(x) = f(-x).
- Rf и F-1Ff соответствуют интегральному определению F-1f.
- R = F2.
-
Двусторонний обратный
- F-1 является левым и прямым обратным для преобразования Фурье.
- Это следует из теоремы об инверсии Фурье и ассоциативности композиции функций.
-
Условия для функции
- Теорема справедлива для функций Шварца и интегрируемых функций с интегрируемым преобразованием Фурье.
- В одномерном случае функция должна быть абсолютно интегрируемой и кусочно-гладкой или кусочно-непрерывной.
-
Теорема об инверсии Фурье
- Теорема остается в силе при условии, что обратное преобразование определяется с плавной функцией отсечения.
- Для абсолютно интегрируемых функций теорема также верна.
-
Квадратичные интегрируемые функции
- Преобразование Фурье определяется аргументом плотности.
- Обратное преобразование может быть определено по плотности или через оператор flip.
- В одном измерении сходимость почти для каждого x∈ℝ.
-
Закаленные распределения
- Преобразование Фурье определяется в пространстве темперированных распределений.
- Обратное преобразование определяется двойственностью или через оператор flip.
-
Отношение к ряду Фурье
- Теорема об обращении Фурье аналогична теореме о сходимости рядов Фурье.
- В случае ряда Фурье сумма исчисляется от −∞ к ∞.
-
Приложения
- Теорема об обращении Фурье часто используется в приложениях.
- Преобразование Фурье является унитарным оператором на L2(Rn).