Оглавление
Теорема об открытом отображении (функциональный анализ)
-
Теорема об открытом отображении
- Утверждает, что сюръективный непрерывный линейный оператор между банаховыми пространствами является открытым отображением.
- Частный случай: ограниченная обратная теорема утверждает, что биективный ограниченный линейный оператор имеет ограниченную обратную.
-
Доказательство теоремы
- Используются леммы о почти открытых и почти сюръективных отображениях.
- Лемма о почти открытых отображениях утверждает, что почти открытое отображение между нормированными пространствами является почти сюръективным.
- Лемма Шаудера утверждает, что почти сюръективное отображение между нормированными пространствами является открытым и сюръективным.
-
Следствия и формулировки
- Теорема об открытом отображении и ограниченная обратная теорема являются одним и тем же результатом.
- Теорема может быть сформулирована в терминах транспонирования оператора.
- Теренс Тао дает количественную формулировку теоремы, включающую эквивалентные условия.
-
Контрпример
- Теорема может не работать для неполных нормированных пространств.
- Пример: пространство последовательностей с конечным числом ненулевых членов, удовлетворяющих норме supremum.
-
Неполнота последовательности
- Последовательность x(n) сходится к x(∞), но не лежит в X.
- Завершение X — пространство c0, но отображение T не является биекцией.
-
Теорема об открытом отображении
- Если T: X → Y — биективный непрерывный линейный оператор, то T-1 также непрерывна.
- Если T: X → Y — линейный оператор, и для каждой последовательности xn → 0 и Txn → y, то y = 0, то T непрерывна.
- Если T: E → F — ограниченный оператор, и E завершено, то T открыт, сюръективен и F полон.
-
Обобщения и следствия
- Теорема об открытом отображении верна для F-пространств.
- Теорема об открытом отображении для непрерывных отображений: если Im A незначительно в Y, то A — открытая карта и Y — полный псевдометризуемый TVS.
- Теорема: каждое непрерывное линейное отображение между F-пространствами является гомоморфизмом TVS.
-
Почти открытые линейные карты
- Линейная карта почти открыта, если замыкание её образа является окрестностью начала координат в Y.
- Биективное линейное отображение почти открыто тогда и только тогда, когда его инверсия непрерывна.
- Каждая сюръективная линейная карта от локально выпуклых TVS к цилиндрическим TVS почти открыта.
-
Перепончатые пространства
- Перепончатые пространства — класс топологических векторных пространств, для которых справедливы теорема об открытом отображении и теорема о замкнутом графе.