Теоремы Геделя о неполноте
-
Теорема Геделя о неполноте
- Гедель показал, что любая эффективная система аксиом не может доказать свою собственную непротиворечивость.
- Система аксиом должна быть ω-непротиворечивой, чтобы доказать свою собственную непротиворечивость.
-
Вторая теорема Геделя о неполноте
- Утверждает, что для любой формальной системы F, непротиворечивость F не может быть доказана в F.
- Выражает согласованность системы F через формулу Cons(F).
- Доказательство второй теоремы основано на формализации доказательства первой теоремы в системе F.
-
Условия Гильберта-Бернейса
- Стандартное доказательство второй теоремы требует, чтобы предикат доказуемости удовлетворял условиям Гильберта-Бернейса.
- Некоторые системы, такие как арифметика Робинсона, не удовлетворяют этим условиям.
-
Последствия для доказательств непротиворечивости
- Вторая теорема Геделя исключает возможность доказательства непротиворечивости одной системы другой системой, если первая система доказуемо непротиворечива.
- Это означает, что арифметику Пеано нельзя доказать непротиворечивость с помощью арифметики Пеано, поскольку последняя доказуемо непротиворечива.
-
Эпистемологическая значимость
- Вторая теорема подчеркивает важность доказательства непротиворечивости в менее сомнительных системах.
- Доказательства непротиворечивости в менее сильных системах могут быть использованы для доказательства непротиворечивости более сильных систем.
- Пример Герхарда Гентцена показывает, что непротиворечивость арифметики Пеано может быть доказана в системе, включающей аксиому обоснованности ε0.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.
Полный текст статьи: