Оглавление
Теория Галуа
-
Определение и история теории Галуа
- Теория Галуа изучает группы автоморфизмов полей, связанных с расширением полей.
- Основана на работах Эвариста Галуа и связана с теорией групп и алгебраической геометрией.
-
Связь с теорией групп
- Теория Галуа является частью теории групп, изучающей группы автоморфизмов полей.
- Группа Галуа связана с расширением поля и описывает его структуру.
-
Примеры и приложения
- Теория Галуа используется для изучения разрешимости многочленов и решения уравнений.
- В современном подходе теория Галуа рассматривает поля, полученные присоединением корней многочленов.
- Теория Галуа имеет важные приложения в алгебраической теории чисел и алгебраической геометрии.
-
Разрешимость и радикалы
- Понятие разрешимости группы позволяет определить, разрешимы ли многочлены в радикалах.
- Существуют неразрешимые многочлены, что было доказано Нильсом Хенриком Абелем.
-
Обратная задача Галуа
- Обратная задача Галуа заключается в нахождении расширения поля с заданной группой Галуа.
- Эта задача решена для всех конечных групп, за исключением одной из 26 спорадических групп.
-
Неотделимые расширения
- Теория Галуа рассматривает только отделимые расширения полей.
- Существуют расширения, которые не являются отделимыми, и для них используется векторная алгебра производных.
-
Дополнительные материалы
- Ссылки на оригинальные статьи Галуа, введение в теоретико-полевой подход и книги, обобщающие теорию Галуа.
Полный текст статьи: