Теория Морзе
-
Основы теории Морса
- Теория Морса изучает гладкие функции на многообразиях с точки зрения их критических точек.
- Функция Морса имеет только невырожденные критические точки.
- Почти все гладкие функции на многообразии являются функциями Морса.
-
Основные теоремы
- Топология многообразия изменяется при изменении функции Морса.
- Топология многообразия остается неизменной при прохождении критической точки.
- Теория Морса позволяет определить количество критических точек и их гомологическую структуру.
-
Неравенства Морса
- Количество критических точек индекса равно числу ячеек в CW-комплексе многообразия.
- Эйлерова характеристика равна сумме рангов групп гомологий.
- Существуют неравенства Морса, связывающие количество критических точек с рангами гомологических групп.
-
Применение к классификации многообразий
- Теория Морса использовалась для классификации замкнутых 2-многообразий.
- Классификация основана на роде и диффеоморфизме многообразий.
-
Гомология Морса
- Гомология Морса позволяет понять гомологию гладких многообразий через функции Морса и риманову метрику.
- Гомология Морса является инвариантом многообразия и изоморфна сингулярной гомологии.
-
Теория Морса-Ботта
- Функция Морса-Ботта имеет замкнутые критические многообразия и невырожденный гессиан в нормальном направлении.
- Функция Морса является частным случаем функции Морса-Ботта с нулевыми критическими многообразиями.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.