Оглавление
- 1 Теория размерностей (алгебра)
- 1.1 Теория размерности в коммутативной алгебре
- 1.2 Основные результаты
- 1.3 Местные кольца
- 1.4 Следствия из фундаментальной теоремы
- 1.5 Морфизмы локальных колец
- 1.6 Вопросы и ответы
- 1.7 Формула высоты Нагаты
- 1.8 Гомологические методы
- 1.9 Теорема о регулярном кольце
- 1.10 Глубина и проективная размерность
- 1.11 Формула Ауслендера–Бухсбаума
- 1.12 Локальные когомологии
- 1.13 Комплекс Кошуля
- 1.14 Гомология Кошуля
- 1.15 Комплекс Кошуля
- 1.16 Полные кольца пересечений
- 1.17 Глобальная размерность и размеры Tor
- 1.18 Размеры некоммутативных колец
- 1.19 Полный текст статьи:
- 2 Теория размерности (алгебра)
Теория размерностей (алгебра)
-
Теория размерности в коммутативной алгебре
- Изучение размерности алгебраических многообразий и схем
- Эквивалентность различных определений размерности
-
Основные результаты
- Размерность кольца по Круллю и высота основного идеала
- Размерность нетеровых колец
-
Местные кольца
- Фундаментальная теорема для местных нетерианских колец
- Доказательство фундаментальной теоремы
-
Следствия из фундаментальной теоремы
- Размерность локальных колец
- Регулярные локальные кольца
- Основная теорема Крулля об идеале
-
Морфизмы локальных колец
- Теорема о морфизмах локальных колец
- Равенство в случае плоских морфизмов
-
Вопросы и ответы
- Предложение о размерности нетеровых колец
-
Формула высоты Нагаты
- Пусть R ⊂ R’ быть целостными доменами, p’ ⊂ R’ быть главным идеалом и p = R ∩ p’.
- Если R – нетерово кольцо, то dim R’p’ + tr.deg R/p’ ≤ dim Rp + tr.deg R.
- Равенство выполняется, если R универсально цепное, а R’ конечно порожденная R-алгебра или R’ – кольцо многочленов над R.
-
Гомологические методы
- Проективная размерность конечного R-модуля M обозначается как pdR M.
- Глобальное измерение R определяется как sup{pdR M | M является конечным модулем}.
- Для локального кольца R с полем вычетов k, pdR k = gl.dim R.
- Если f – ненулевой разделитель на M, то pdR M ≥ pdR1(M ⊗ R1).
-
Теорема о регулярном кольце
- R является регулярным тогда и только тогда, когда gl.dim R < ∞ и gl.dim R = dim R.
- Если R регулярный, то существует система параметров f1, …, fn, такая что k = R/(f1, …, fn).
- Если dim R = 0, то gl.dim R = 0.
-
Глубина и проективная размерность
- Глубина конечного модуля M над локальным кольцом R равна максимуму длин M-регулярных последовательностей в максимальном идеале m.
- Глубина M ≤ dim R/p для любых связанных простых чисел p из M.
- Если глубина M = dim M, то R называется кольцом Коэна–Маколея.
-
Формула Ауслендера–Бухсбаума
- Если pdR M < ∞, то pdR M + глубина M = глубина R.
- Доказательство основано на индукции по pdR M и использовании леммы Накаямы.
-
Локальные когомологии
- Локальные когомологии Hm^i(M) определяются как производные функторы от Γm(M).
- Глубина M = sup{n | Hm^i(M) = 0, i < n}.
- Если R полное и d – его размерность Крулля, то HomR(Hm^d(-),E) представимо.
-
Комплекс Кошуля
- Комплекс K(x) состоит из R для i = 0, 1 и 0 для других i с дифференциальным d.
- Для любого R-модуля M комплекс K(x,M) = K(x) ⊗R M с дифференциальным d ⊗ 1.
- Гомология H∗(x,M) = H∗(K(x,M)) определяется как H∗(K(x,M)).
-
Гомология Кошуля
- Гомология Кошуля используется для изучения регулярных последовательностей в кольце R.
- Регулярная последовательность — это последовательность элементов, для которой H1(x, M) = 0.
- Теорема утверждает, что регулярная последовательность эквивалентна H1(x, M) = 0 для всех i ≥ 1.
-
Комплекс Кошуля
- Комплекс Кошуля используется для вычисления гомологий и размерностей.
- Теорема утверждает, что Hm(M) ≃ lim H(K(x1j, …, xnj; M)).
- Теорема также утверждает, что dim R ≤ s ≤ gl.dim R.
-
Полные кольца пересечений
- Полные кольца пересечений определяются как кольца, для которых dim R + ϵ1(R) = dim касательного пространства.
- Теорема утверждает, что R является полным кольцом пересечений тогда и только тогда, когда его алгебра Кошуля является внешней алгеброй.
-
Глобальная размерность и размеры Tor
- Глобальная размерность кольца R определяется как sup{idR(M) | M ∈ ModR}.
- Теорема утверждает, что gl.dim R = inf{n | ExtR^i(M, N) = 0, i > n, M, N ∈ ModR}.
-
Размеры некоммутативных колец
- Измерение Гельфанда-Кириллова определяется как предельная поддержка log f(n) / log n.
- Пример: для n-й алгебры Вейля gk(An) = 2n.