Оглавление
Топологическая K-теория
-
Определение и основные понятия
- Топологическая K-теория изучает векторные расслоения в топологических пространствах.
- Основана Александром Гротендиком и развита Майком Атией и Фридрихом Хирцебрухом.
- K-теория определяется как группа Гротендика коммутативного моноида классов изоморфизмов векторных расслоений.
-
Примеры и свойства
- K-теория точки равна целым числам.
- K~(X) — редуцированная версия K-теории, определяемая как группа устойчивых классов эквивалентности расслоений.
- K-теория формирует мультипликативную теорию когомологий.
-
Свойства и периодичность
- K-теория является контравариантным функтором из гомотопической категории в категорию коммутативных колец.
- Существует естественный кольцевой гомоморфизм K0(X) → H2∗(X, Q), символ Черна.
- Теорема Ботта о периодичности утверждает, что K(X × S2) = K(X) ⊗ K(S2), где K(S2) = Z[H]/(H-1)2.
-
Приложения и обобщения
- Топологическая K-теория применяется в доказательстве задачи Джона Фрэнка Адамса и верхней границы числа линейно независимых векторных полей на сферах.
- Существует алгебраический аналог, связывающий группу когерентных пучков Гротендика и кольцо Чоу гладкого проективного многообразия.
-
Дополнительные инструменты и теории
- Спектральная последовательность Атии-Хирцебруха позволяет вычислять K-группы из обычных групп когомологий.
- КР-теория, теорема об индексе Атии-Сингера, теорема Снайта и алгебраическая K-теория также связаны с топологической K-теорией.