Оглавление
- 1 Топологическое многообразие
- 1.1 Определение топологического многообразия
- 1.2 Примеры многообразий
- 1.3 Проективные многообразия
- 1.4 Другие коллекторы
- 1.5 Свойства многообразий
- 1.6 Аксиомы и размерность
- 1.7 Координатные диаграммы
- 1.8 Классификация многообразий
- 1.9 Многообразия с границей
- 1.10 Конструкции многообразий
- 1.11 Декартово произведение
- 1.12 Бессвязный союз
- 1.13 Связанная сумма
- 1.14 Подмногообразие
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Топологическое многообразие
Топологическое многообразие
-
Определение топологического многообразия
- Топологическое многообразие — это локально евклидово хаусдорфово пространство.
- Все многообразия являются топологическими многообразиями.
- Другие типы многообразий формируются добавлением структуры.
-
Примеры многообразий
- Реальное координатное пространство Rn является n-многообразием.
- Окружность — компактное 1-многообразие.
- Тор и бутылка Клейна — компактные 2-многообразия.
- n-мерная сфера Sn и n-мерный тор Tn — компактные n-многообразия.
-
Проективные многообразия
- Реальное проективное пространство RPn — n-мерное многообразие.
- Комплексное проективное пространство CPn — 2n-мерное многообразие.
- Кватернионное проективное пространство HPn — 4n-мерное многообразие.
-
Другие коллекторы
- Дифференцируемые многообразия — топологические многообразия с дифференциальной структурой.
- Линзовые пространства — частные от сфер нечетной размерности.
- Группы Ли — дифференцируемые многообразия с групповой структурой.
-
Свойства многообразий
- Локальная евклидовость сохраняется при локальных гомеоморфизмах.
- Многообразия локально компактны, связаны, поддаются подсчету, сжимаемы и метризуемы.
- Хаусдорфовы многообразия являются пространствами Тихонова.
- Паракомпактные многообразия метризуемы и обладают всеми топологическими свойствами метрических пространств.
-
Аксиомы и размерность
- Многообразие метризуемо тогда и только тогда, когда оно паракомпактно.
- Непаракомпактные многообразия считаются патологическими.
- Размерность непустого n-многообразия равна n.
-
Координатные диаграммы
- Евклидовы окрестности формируют основу топологии локально евклидова пространства.
- Координатные диаграммы согласуются с перекрытиями до гомеоморфизма.
-
Классификация многообразий
- Дискретные пространства — 0-многообразия.
- Кривые — 1-многообразия.
- Поверхности — 2-многообразия.
- Объемы — 3-многообразия.
- Общее n-многообразие — классификация невозможна для n > 3.
-
Многообразия с границей
- Топологическое многообразие с границей — хаусдорфово пространство с окрестностью, гомеоморфной евклидову полупространству.
-
Конструкции многообразий
- Декартово произведение — (m + n)-многообразие.
- Бессвязный союз — n-многообразие.
- Связанная сумма — n-многообразие.
- Подмногообразие — n-многообразие с топологией подпространства.
-
Декартово произведение
- Если M – m-многообразие, а N – n-многообразие, то M × N является (m + n)-многообразием при заданной топологии произведения.
-
Бессвязный союз
- Непересекающееся объединение счетного семейства n-многообразий называется n-многообразием, если все части имеют одинаковую размерность.
-
Связанная сумма
- Связанная сумма двух n-многообразий определяется путем удаления открытого шара из каждого многообразия и вычисления частного от непересекающегося объединения результирующих многообразий с границей.
- Частное берется с учетом гомеоморфизма между граничными сферами удаленных шаров.
- Это приводит к появлению еще одного n-многообразия.
-
Подмногообразие
- Любое открытое подмножество n-многообразия является n-многообразием с топологией подпространства.