Оглавление [Скрыть]
- 1 Трансцендентальная функция
- 1.1 Определение трансцендентных функций
- 1.2 История трансцендентных функций
- 1.3 Примеры трансцендентных функций
- 1.4 Алгебраические и трансцендентные функции
- 1.5 Исключительный набор
- 1.6 Трансцендентные функции и их свойства
- 1.7 Гипотеза Шануэля и её следствия
- 1.8 Пространственный анализ и трансцендентные функции
- 1.9 Примеры и рекомендации
- 1.10 Полный текст статьи:
- 2 Трансцендентная функция
Трансцендентальная функция
-
Определение трансцендентных функций
- Трансцендентные функции не удовлетворяют полиномиальным уравнениям.
- Примеры: экспоненциальная, логарифмическая, гиперболические и тригонометрические функции.
-
История трансцендентных функций
- Синус и косинус были известны в древности.
- Леонард Эйлер ввел экспоненциальную функцию в 1748 году.
- Гиперболические функции стали известны благодаря квадратуре гиперболы.
-
Примеры трансцендентных функций
- f1(x) = x^π, f2(x) = e^x, f3(x) = log_e x, f4(x) = cosh x, f5(x) = sinh x, f6(x) = tanh x, f7(x) = sinh^-1 x, f8(x) = tanh^-1 x, f9(x) = cos x, f10(x) = sin x, f11(x) = tan x, f12(x) = sin^-1 x, f13(x) = tan^-1 x, f14(x) = x!, f15(x) = 1/x!, f16(x) = x^x.
-
Алгебраические и трансцендентные функции
- Алгебраические функции удовлетворяют полиномиальным уравнениям.
- Примеры: рациональные функции, функция извлечения квадратного корня.
- Трансцендентные функции не могут быть определены через алгебраические функции.
-
Исключительный набор
- Множество алгебраических чисел, дающих алгебраические результаты, называется исключительным множеством функции.
- Примеры: E(exp) = {0}, E(j) = {α ∈ H: [Q(α):Q] = 2}, E(2^x) = Q.
-
Трансцендентные функции и их свойства
- Функция 2x может быть заменена на cx для любого алгебраического значения c, не равного 0 или 1.
- Функция с пустым набором исключений, не требующая гипотезы Шануэля, — это f(x) = exp(1 + πx).
- Для любого подмножества алгебраических чисел существует трансцендентная функция с исключительным набором, равным этому подмножеству.
-
Гипотеза Шануэля и её следствия
- Гипотеза Шануэля утверждает, что E(e^ex) = ∅.
- Это означает, что функция e^ex не имеет исключений.
-
Пространственный анализ и трансцендентные функции
- В размерном анализе трансцендентные функции имеют смысл только при безразмерном аргументе.
- Трансцендентные функции могут быть источником размерных ошибок, например, log(5 метров) — бессмысленное выражение.
-
Примеры и рекомендации
- Примеры трансцендентных функций включают exp(1 + πx) и log(5 метров / 3 метра).
- Рекомендуется использовать алгебраические операции для измерений, чтобы избежать бессмысленных результатов.