Оглавление
- 1 Транзитные линии
- 1.1 Определение и структура TLE
- 1.2 Примеры и контрпримеры
- 1.3 Асимптотические скорости роста
- 1.4 Формальная конструкция
- 1.5 Другие конструкции
- 1.6 Определение линейно упорядоченной коммутативной группы и упорядоченного поля
- 1.7 Возведение в степень на T E
- 1.8 Справа-композиция с e x
- 1.9 Логарифмические переходы
- 1.10 Экспоненциальный и логарифмический на T LE
- 1.11 Использование сюрреалистических чисел
- 1.12 Другие области транзитных перевозок
- 1.13 Вывод Берардуччи-Мантуи
- 1.14 Дополнительные свойства
- 1.15 Логарифмические последовательности
- 1.16 Состав транзитных линий
- 1.17 Расширения Тейлора и дробная итерация
- 1.18 Разрешимость и теория моделей
- 1.19 Выносливые поля
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Транссерии – Arc.Ask3.Ru
Транзитные линии
-
Определение и структура TLE
- TLE — неархимедово упорядоченное дифференциальное поле, расширяющее сопоставимость асимптотических скоростей роста.
- Включает логарифмические и экспоненциальные последовательности преобразований.
- Обладает богатой структурой: упорядоченное поле, обобщенные ряды и суммы, совместимые производные и экспоненциальные функции.
-
Примеры и контрпримеры
- Транзитные ряды включают экспоненты, логарифмы и их составы с вещественными коэффициентами.
- Примеры: логарифмические переходы, не являющиеся логарифмическими переходами.
- Примеры дифференциальных полей: TEL и R⟨⟨ω⟩⟩.
-
Асимптотические скорости роста
- Асимптотические скорости роста элементарных функций сопоставимы.
- Класс эквивалентности функций называется зародышем функции.
- TLE обобщает эти темпы роста, закрываясь в “пределах” для последовательностей с ограниченной экспоненциальной и логарифмической глубиной.
-
Формальная конструкция
- Последовательности переходов определяются как формальные выражения с правилами сравнения, арифметических операций и дифференцирования.
- Транзитные ряды могут быть формализованы как суммы с конечной экспоненциальной глубиной.
- Сравнение и умножение транзитных рядов основаны на их структуре.
-
Другие конструкции
- Логарифмические переходы в виде повторяющихся серий Hahn.
- Транзитные серии без регистрации: подполе TEE из безлогарифмических переходов.
- Индуктивное определение: TnE как область рядов, основанных на одночленах.
- Естественное включение M0 в M1 обеспечивает естественное встраивание TnE в Tn+1E.
-
Определение линейно упорядоченной коммутативной группы и упорядоченного поля
- Определены линейно упорядоченная коммутативная группа M и упорядоченное поле T E.
- T E является подполем поля R [ [M]] из хорошо обоснованных рядов с вещественными коэффициентами и одночленами в M.
-
Возведение в степень на T E
- Определена экспоненциальная функция exp на T E.
- Возведение в степень определяется как формальная сумма Хана.
-
Справа-композиция с e x
- Правильная композиция с e x определяется индукцией по экспоненциальной глубине.
- Одночлены сохраняются при композиции.
-
Логарифмические переходы
- Функция exp определена только частично на T E.
- Для перехода от T E к T LE используются формальные повторяющиеся логарифмы.
- Определены T m,n LE и T LE как направленные союзы.
-
Экспоненциальный и логарифмический на T LE
- Возведение в степень и логарифм определены аналогично T E.
- Формальная сумма Хана сходится в T m,n LE.
-
Использование сюрреалистических чисел
- Поле log-exp transseries определяется как подполе упорядоченного поля N o из сюрреалистических чисел.
- Определены F 0LE и F n+1LE, которые изоморфны T LE.
-
Другие области транзитных перевозок
- Продолжением F 0LE является поле R ⟨ ⟨ω ⟩ ⟩, снабженное производной и композицией.
- Поле T EL из экспоненциально-логарифмических последовательностей является продолжением T LE.
-
Вывод Берардуччи-Мантуи
- Вывод на N o совпадает с естественным производным и удовлетворяет соотношениям совместимости.
- Вывод в T EL и R ⟨ ⟨ω ⟩ ⟩ не является сюръективным.
-
Дополнительные свойства
- Транзитные ряды обладают сильными свойствами замыкания.
- Определены операции над дифференциальным экспоненциальным упорядоченным полем.
-
Логарифмические последовательности
- Логарифм определяется для положительных аргументов
- Транзитные серии Log-exp действительно закрыты
- Интеграция: каждая серия транзакций log-exp имеет уникальное первообразное с нулевым постоянным членом
- Логарифмическая первообразная: для f ∈ TLE, есть h ∈ TLE с f’ = fh’
-
Состав транзитных линий
- TLE допускает композицию ∘: TLE × TLE, >, ≻ → TLE
- Ассоциативность: для f ∈ TLE и g, h ∈ TLE, g ∘ h ∈ TLE и f ∘ (g ∘ h) = (f ∘ g) ∘ h
- Совместимость правильных композиций: для g ∈ TLE, функция ∘g: f ↦ f ∘ g является автоморфизмом поля TLE
- Уникальность: состав уникален тем, что удовлетворяет двум предыдущим свойствам
- Монотонность: для f ∈ TLE, функция g ↦ f ∘ g является постоянным или строго монотонным на TLE, >, ≻
- Правило цепочки: для f ∈ TLE × и g ∈ TLE, (f ∘ g)’ = g’f’ ∘ g
- Функциональная инверсия: для g ∈ TLE, существует уникальная серия h ∈ TLE с g ∘ h = h ∘ g = x
-
Расширения Тейлора и дробная итерация
- Каждая серия транзакций log-exp f имеет разложение Тейлора вокруг каждой точки
- Для f ∈ TLE, с экспоненциальным ростом 0 и любое действительное число a, дробная итерация f^a от f определена
-
Разрешимость и теория моделей
- Теория дифференциального упорядоченного дифференциального поля TLE разрешима и может быть аксиоматизирована
- Теория упорядоченного экспоненциального поля TLE является экспоненциальным вещественным упорядоченным экспоненциальным полем (R, +, ×, exp, <)
-
Выносливые поля
- Tas является полем переходов, поддающихся ускоренному суммированию
- Tas предположительно является максимальным полем Харди, соответствующим подполю T
- Предполагается, что все максимальные поля Харди элементарно эквивалентны дифференциальным полям и имеют ту же теорию первого порядка, что и TLE