Уравнение Даффинга

Оглавление1 Уравнение Даффинга1.1 Уравнение Даффинга1.2 Параметры уравнения1.3 Масштабирование параметров1.4 Методы решения1.5 Ограниченность решения1.6 Частотная характеристика1.7 Уравнение Даффинга1.8 Амплитудно-частотная характеристика1.9 Графическое […]

Уравнение Даффинга

  • Уравнение Даффинга

    • Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка  
    • Используется для моделирования затухающих и управляемых генераторов  
    • Описывает движение затухающего генератора с нелинейным потенциалом  
  • Параметры уравнения

    • δ контролирует демпфирование  
    • α контролирует линейную жесткость  
    • β контролирует степень нелинейности восстанавливающего усилия  
    • γ амплитуда периодической движущей силы  
    • ω угловая частота периодической движущей силы  
  • Масштабирование параметров

    • Можно уменьшить число параметров на два  
    • Масштабирование: τ = tα, y = xα/γ  
    • Уравнение: y¨ + 2ηy˙ + y + εy3 = cos(στ)  
  • Методы решения

    • Разложение в ряд Фурье  
    • Метод Фробениуса  
    • Численные методы, такие как метод Эйлера и Рунге-Кутты  
    • Метод гомотопического анализа  
  • Ограниченность решения

    • Незатухающий генератор: H = 1/2(x˙)2 + 1/2αx2 + 1/4βx4  
    • Демпфированный генератор: H = 1/2y2 + 1/2αx2 + 1/4βx4  
  • Частотная характеристика

    • Генератор вынужденного Дуффинга: x¨ + δx˙ + αx + βx3 = γcos(ωt)  
    • Частотная характеристика описывает амплитуду стационарного отклика при заданной частоте возбуждения  
    • Метод гармонического баланса: x = acos(ωt) + bsin(ωt) = zcos(ωt – ϕ)  
    • Уравнение частотной характеристики: [ω2 – α – 3/4βz2]2 + (δω)2 z2 = γ2  
  • Уравнение Даффинга

    • Уравнение Даффинга описывает колебания пружинного генератора.  
    • Включает параметры α, β, δ и γ.  
  • Амплитудно-частотная характеристика

    • Возведение уравнений в квадрат приводит к амплитудно-частотной характеристике.  
    • Частотная характеристика зависит от параметров α, β, δ и γ.  
  • Графическое решение

    • Частотная характеристика может быть получена графически.  
    • Первая кривая — парабола, вторая — гипербола.  
  • Прыжки и гистерезис

    • Для определенных параметров частотная характеристика может быть неоднозначной.  
    • Проявляются скачки амплитуды при изменении частоты.  
  • Переход к хаосу

    • При сильном воздействии гармоники более высокого порядка становятся значимыми.  
    • Динамика становится хаотичной.  
  • Примеры

    • Временные ряды и фазовые портреты показывают субгармоники и хаотическое поведение.  
    • Параметры: α = −1, β = +1, δ = 0.3, ω = 1.2.  
    • Начальные условия: x(0) = 1, x˙(0) = 0.  

Полный текст статьи:

Уравнение Даффинга

Оставьте комментарий

Прокрутить вверх