Оглавление
- 1 Уравнение Даффинга
- 1.1 Уравнение Даффинга
- 1.2 Параметры уравнения
- 1.3 Масштабирование параметров
- 1.4 Методы решения
- 1.5 Ограниченность решения
- 1.6 Частотная характеристика
- 1.7 Уравнение Даффинга
- 1.8 Амплитудно-частотная характеристика
- 1.9 Графическое решение
- 1.10 Прыжки и гистерезис
- 1.11 Переход к хаосу
- 1.12 Примеры
- 1.13 Полный текст статьи:
- 2 Уравнение Даффинга
Уравнение Даффинга
-
Уравнение Даффинга
- Нелинейное дифференциальное уравнение второго порядка
- Используется для моделирования затухающих и управляемых генераторов
- Описывает движение затухающего генератора с нелинейным потенциалом
-
Параметры уравнения
- δ контролирует демпфирование
- α контролирует линейную жесткость
- β контролирует степень нелинейности восстанавливающего усилия
- γ амплитуда периодической движущей силы
- ω угловая частота периодической движущей силы
-
Масштабирование параметров
- Можно уменьшить число параметров на два
- Масштабирование: τ = tα, y = xα/γ
- Уравнение: y¨ + 2ηy˙ + y + εy3 = cos(στ)
-
Методы решения
- Разложение в ряд Фурье
- Метод Фробениуса
- Численные методы, такие как метод Эйлера и Рунге-Кутты
- Метод гомотопического анализа
-
Ограниченность решения
- Незатухающий генератор: H = 1/2(x˙)2 + 1/2αx2 + 1/4βx4
- Демпфированный генератор: H = 1/2y2 + 1/2αx2 + 1/4βx4
-
Частотная характеристика
- Генератор вынужденного Дуффинга: x¨ + δx˙ + αx + βx3 = γcos(ωt)
- Частотная характеристика описывает амплитуду стационарного отклика при заданной частоте возбуждения
- Метод гармонического баланса: x = acos(ωt) + bsin(ωt) = zcos(ωt – ϕ)
- Уравнение частотной характеристики: [ω2 – α – 3/4βz2]2 + (δω)2 z2 = γ2
-
Уравнение Даффинга
- Уравнение Даффинга описывает колебания пружинного генератора.
- Включает параметры α, β, δ и γ.
-
Амплитудно-частотная характеристика
- Возведение уравнений в квадрат приводит к амплитудно-частотной характеристике.
- Частотная характеристика зависит от параметров α, β, δ и γ.
-
Графическое решение
- Частотная характеристика может быть получена графически.
- Первая кривая — парабола, вторая — гипербола.
-
Прыжки и гистерезис
- Для определенных параметров частотная характеристика может быть неоднозначной.
- Проявляются скачки амплитуды при изменении частоты.
-
Переход к хаосу
- При сильном воздействии гармоники более высокого порядка становятся значимыми.
- Динамика становится хаотичной.
-
Примеры
- Временные ряды и фазовые портреты показывают субгармоники и хаотическое поведение.
- Параметры: α = −1, β = +1, δ = 0.3, ω = 1.2.
- Начальные условия: x(0) = 1, x˙(0) = 0.