Выпуклый сопряженный
-
Определение выпуклой функции
- Функция f называется выпуклой, если для всех x и y, таких что x ≤ y, выполняется неравенство f(x) ≤ f(y).
- Выпуклая функция обладает свойством возрастания на интервалах, где она строго возрастает.
-
Свойства выпуклых функций
- Выпуклая функция является непрерывной на замкнутом интервале.
- Выпуклая функция имеет не более одной точки минимума.
- Выпуклая функция ограничена сверху и снизу на замкнутом интервале.
-
Выпуклое сопряжение
- Выпуклое сопряжение функции f, обозначаемое f*, является функцией, которая максимизирует линейную функцию на множестве, где f строго возрастает.
- Выпуклое сопряжение обладает свойствами, аналогичными свойствам выпуклой функции.
-
Примеры выпуклых функций
- Функция f(x) = x^2 является выпуклой на всей числовой прямой.
- Функция f(x) = x^3 является выпуклой на интервале [0, 1].
- Функция f(x) = x^4 является выпуклой на интервале [-1, 1].
-
Неравенство Фенчела
- Неравенство Фенчела утверждает, что для выпуклой функции f и ее выпуклого сопряжения f* выполняется неравенство Фенчела.
- Равенство в неравенстве Фенчела достигается только при условии, что точка x принадлежит границе множества, где f строго возрастает.
-
Конечная свертка и инфимальная свертка
- Конечная свертка двух функций f и g является выпуклой функцией.
- Инфимальная свертка двух функций является суммой Минковского их эпиграфов.
-
Максимизирующий аргумент
- Производная функции f является максимизирующим аргументом для вычисления выпуклого сопряжения.
-
Поведение при линейных преобразованиях
- Линейное преобразование A сохраняет выпуклость функции f, если ее прообраз в A является выпуклым множеством.
-
Замкнутая выпуклая функция
- Функция f является замкнутой выпуклой, если ее выпуклое сопряжение симметрично относительно множества G.
-
Таблица преобразований Лежандра
- В таблице приведены преобразования Лежандра для распространенных функций и их свойства.
-
Рекомендации
- Ссылки на дополнительные источники информации и рекомендации по цитированию статьи.