Задача о круге Гаусса

• Определение задачи о круге Гаусса

  • Задача о круге Гаусса заключается в подсчете количества целых точек решетки внутри круга с центром в начале координат и радиусом r. 
  • Задача эквивалентна вопросу о количестве пар целых чисел (m, n), удовлетворяющих уравнению x^2 + y^2 = r^2. 

• Ограничения и гипотезы

  • Количество точек решетки в круге примерно равно площади круга, что составляет πr^2. 
  • Существует погрешность E(r), которая должна быть небольшой по абсолютной величине. 
  • Задача о круге Гаусса имеет верхнюю и нижнюю границы, которые были доказаны Гауссом, Харди и Ландау. 

• Первые значения N(r)

  • Первые значения N(r) для r от 0 до 12 и округленные значения πr^2 приведены в списке. 

• Увеличение и уменьшение E(r)

  • После N(4) = 49, E(r) увеличивается на 8, 4, 8, 12, а затем уменьшается со скоростью 2πr. 

• Современные границы

  • В настоящее время известны нижние и верхние границы для E(r), которые были доказаны Харди и Ландау в 1915 году и Мартином Хаксли в 2000 году. 

• Различные формы задачи

  • Задача о круге Гаусса может быть обобщена на другие формы, такие как конические и сферические, а также на задачи о делителе и примитивном круге. 

• Физическое применение

  • Точечный планиметр основан на принципе задачи о круге Гаусса и используется для оценки площади фигур. 

• Обобщение задачи о примитивном круге

  • Задача о примитивном круге заключается в подсчете числа взаимно простых целочисленных решений неравенства x^2 + y^2 ≤ r^2. 
  • Известны верхняя и нижняя границы для V(r), а также гипотеза Римана, влияющая на точность верхней границы.