Оглавление
Задача о круге Гаусса
-
Определение задачи о круге Гаусса
- Задача о круге Гаусса заключается в подсчете количества целых точек решетки внутри круга с центром в начале координат и радиусом r.
- Задача эквивалентна вопросу о количестве пар целых чисел (m, n), удовлетворяющих уравнению x^2 + y^2 = r^2.
-
Ограничения и гипотезы
- Количество точек решетки в круге примерно равно площади круга, что составляет πr^2.
- Существует погрешность E(r), которая должна быть небольшой по абсолютной величине.
- Задача о круге Гаусса имеет верхнюю и нижнюю границы, которые были доказаны Гауссом, Харди и Ландау.
-
Первые значения N(r)
- Первые значения N(r) для r от 0 до 12 и округленные значения πr^2 приведены в списке.
-
Увеличение и уменьшение E(r)
- После N(4) = 49, E(r) увеличивается на 8, 4, 8, 12, а затем уменьшается со скоростью 2πr.
-
Современные границы
- В настоящее время известны нижние и верхние границы для E(r), которые были доказаны Харди и Ландау в 1915 году и Мартином Хаксли в 2000 году.
-
Различные формы задачи
- Задача о круге Гаусса может быть обобщена на другие формы, такие как конические и сферические, а также на задачи о делителе и примитивном круге.
-
Физическое применение
- Точечный планиметр основан на принципе задачи о круге Гаусса и используется для оценки площади фигур.
-
Обобщение задачи о примитивном круге
- Задача о примитивном круге заключается в подсчете числа взаимно простых целочисленных решений неравенства x^2 + y^2 ≤ r^2.
- Известны верхняя и нижняя границы для V(r), а также гипотеза Римана, влияющая на точность верхней границы.
Полный текст статьи: