Закон больших чисел
-
Определение и примеры
- Закон больших чисел утверждает, что среднее значение большой выборки сходится к истинному значению.
- Примеры включают в себя среднее арифметическое, среднее геометрическое и среднее гармоническое.
-
Теорема Бернулли
- Утверждает, что вероятность того, что среднее арифметическое n независимых испытаний будет отличаться от истинного значения не более чем на ε, стремится к 1 при n стремящемся к бесконечности.
-
Закон больших чисел для дискретных случайных величин
- Среднее арифметическое n независимых испытаний сходится к истинному значению с вероятностью 1.
- Закон также применим к дискретным случайным величинам с конечным числом возможных значений.
-
Закон больших чисел для непрерывных случайных величин
- Среднее арифметическое n независимых испытаний сходится к истинному значению почти наверняка.
- Закон применим к непрерывным случайным величинам с непрерывной кумулятивной функцией распределения.
-
Сильный закон больших чисел
- Утверждает, что среднее арифметическое n независимых одинаково распределенных случайных величин сходится к истинному значению почти наверняка.
- Колмогоров доказал этот закон в 1930 году.
-
Различия между слабым и сильным законом
- Слабый закон допускает возможность редких отклонений среднего от истинного значения.
- Сильный закон исключает такие отклонения почти наверняка.
-
Примеры, где слабый закон не выполняется
- Случайные величины с экспоненциальным или геометрическим распределением могут не иметь ожидаемого значения, но слабый закон все еще выполняется.
- Случайные величины, имеющие кумулятивную функцию распределения, отличную от стандартной, могут не иметь ожидаемого значения, но слабый закон все еще выполняется.
-
Единые законы больших чисел
- Существуют расширения закона больших чисел для наборов оценок, где сходимость равномерна по всему набору.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.