Оглавление [Скрыть]
- 1 Замкнутые и точные дифференциальные формы
- 1.1 Замкнутые и точные формы
- 1.2 Примеры замкнутых форм
- 1.3 Примеры точных форм
- 1.4 Аналогии с векторными полями
- 1.5 Лемма Пуанкаре
- 1.6 Когомологии де Рама
- 1.7 Термодинамика и когомологии
- 1.8 Применение в электродинамике
- 1.9 Уравнение для электрического поля
- 1.10 Релятивистская инвариантность
- 1.11 Унификация количеств
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Замкнутые и точные дифференциальные формы
Замкнутые и точные дифференциальные формы
-
Замкнутые и точные формы
- Замкнутая форма: внешняя производная равна нулю (da = 0)
- Точная форма: внешняя производная другой формы (α = dβ)
- Замкнутые формы находятся в ядре d, точные формы — в образе d
-
Примеры замкнутых форм
- Форма dθ на проколотой плоскости R2∖{0} замкнута, но не точна
- dθ не является производной от функции θ, но имеет нулевую производную
-
Примеры точных форм
- В R2 и R3 1-формы представляют интерес
- Теорема о градиенте: 1-форма точна, если интеграл по замкнутой кривой равен нулю
-
Аналогии с векторными полями
- Замкнутые и точные формы соответствуют векторным полям
- Замкнутое векторное поле: curl = 0, называется безвращательным
- Точное векторное поле: градиент от скалярного потенциала, называется консервативным
-
Лемма Пуанкаре
- Замкнутая p-форма на открытом шаре в Rn точна для p > 0
- Замкнутая p-форма на сжимаемом открытом подмножестве многообразия точна для p > 0
-
Когомологии де Рама
- Различие двух замкнутых форм когомологично, если существует точная форма
- Классы когомологий отождествляются с локально постоянными функциями
- Когомологии де Рама гомотопически инвариантны
-
Термодинамика и когомологии
- Первый закон термодинамики: dU ≠ dW
- Второй закон термодинамики: dU-dW не замкнута
- Теорема Каратеодори: существует интегрирующий знаменатель T, dU-dW = dT
-
Применение в электродинамике
- Векторный потенциал A соответствует потенциальной одноформатной
- Замкнутость двойной формы магнитной индукции соответствует отсутствию источника магнитного поля
-
Уравнение для электрического поля
- Уравнение для электрического поля E полностью соответствует формуле для электростатического кулоновского потенциала φ.
- Плотность заряда ρ и плотность тока j также могут быть унифицированы для количеств с шестью rsp.
-
Релятивистская инвариантность
- Условие стационарности требует добавления времени t к уравнениям для A.
- В правой части используется “замедленное время” t’ := t – |r-r’|/c.
- Интегрирование выполняется по трем пространственным координатам.
-
Унификация количеств
- E, B, ρ, j, φ и A могут быть унифицированы для количеств с шестью rsp.
- Это позволяет использовать четыре нетривиальные составляющие для релятивистской инвариантности уравнений Максвелла.