Завершение создания кольца
-
Завершение в абстрактной алгебре
- Завершение — это функтор над кольцами и модулями, приводящий к полным топологическим кольцам и модулям.
- Завершение аналогично локализации и является важным инструментом анализа коммутативных колец.
-
Алгебраическое завершение
- В алгебраической геометрии завершение кольца функций концентрируется на формальной окрестности точки.
- Завершение строится аналогично завершению метрического пространства последовательностями Коши.
-
Общее строительство
- Завершение определяется как обратный предел по нисходящей фильтрации.
- Завершение может быть применено к коммутативным и некоммутативным кольцам.
-
Топология Крулля
- Фильтрация на коммутативном кольце по степеням идеала определяет топологию Крулля.
- Завершение является обратным пределом факторных колец.
-
Примеры
- Кольцо p-адических целых чисел получается завершением кольца целых чисел в идеале (p).
- Завершение кольца многочленов от n переменных над полем K является кольцом формальных степенных рядов.
-
Свойства
- Завершение нетерова кольца относительно идеала называется нетеровым кольцом.
- Завершение нетерова локального кольца относительно максимального идеала является нетеровым локальным кольцом.
- Завершение нетерова кольца является плоским модулем над R.
-
Структурная теорема Коэна
- Если R — полное локальное нетерово коммутативное кольцо с максимальным идеалом m и полем остатков K, то R содержит поле.