Локальная дзета-функция

• Определение и свойства локальной дзета-функции

  • Локальная дзета-функция Z(V, s) связана с числом точек V над конечным расширением поля. 
  • Преобразование t = q−s позволяет представить Z(V, t) как формальный степенной ряд. 
  • Локальная дзета-функция может быть определена как функция, производная которой равна числу решений уравнения, определяющего V. 

• Связь с полем Fk

  • Существует только одно поле Fk для каждого конечного поля F с точностью до изоморфизма. 
  • Если F — уникальное поле с q элементами, то Fk имеет qk элементов. 

• Примеры и исследования

  • Примеры включают случаи, когда все Nk равны 1, и когда V — проективная прямая. 
  • Эмиль Артин исследовал дзета-функции в 1923 году, а Ф. K. Шмидт и Хельмут Хассе развили теорию. 
  • Карл Фридрих Гаусс описал нетривиальные случаи дзета-функций в «Disquisitiones Arithmeticae». 

• Мотивации и применения

  • Локальные дзета-функции могут быть использованы для получения глобальных дзета-функций. 
  • Гипотеза Римана для кривых над конечными полями связывает количество точек на кривой с ее родом. 
  • Теорема Хассе утверждает, что корни гипотезы Римана имеют одинаковое абсолютное значение. 

• Общие формулы и гипотезы

  • Формула следа Лефшеца позволяет выразить дзета-функцию через геометрические объекты. 
  • Бесконечная формула продукта для дзета-функции позволяет представить ее как рациональную функцию от t. 
  • Предложены предположения Вейля, которые связывают дзета-функцию с геометрией кривых.