Локальная дзета-функция
-
Определение и свойства локальной дзета-функции
- Локальная дзета-функция Z(V, s) связана с числом точек V над конечным расширением поля.
- Преобразование t = q−s позволяет представить Z(V, t) как формальный степенной ряд.
- Локальная дзета-функция может быть определена как функция, производная которой равна числу решений уравнения, определяющего V.
-
Связь с полем Fk
- Существует только одно поле Fk для каждого конечного поля F с точностью до изоморфизма.
- Если F — уникальное поле с q элементами, то Fk имеет qk элементов.
-
Примеры и исследования
- Примеры включают случаи, когда все Nk равны 1, и когда V — проективная прямая.
- Эмиль Артин исследовал дзета-функции в 1923 году, а Ф. K. Шмидт и Хельмут Хассе развили теорию.
- Карл Фридрих Гаусс описал нетривиальные случаи дзета-функций в «Disquisitiones Arithmeticae».
-
Мотивации и применения
- Локальные дзета-функции могут быть использованы для получения глобальных дзета-функций.
- Гипотеза Римана для кривых над конечными полями связывает количество точек на кривой с ее родом.
- Теорема Хассе утверждает, что корни гипотезы Римана имеют одинаковое абсолютное значение.
-
Общие формулы и гипотезы
- Формула следа Лефшеца позволяет выразить дзета-функцию через геометрические объекты.
- Бесконечная формула продукта для дзета-функции позволяет представить ее как рациональную функцию от t.
- Предложены предположения Вейля, которые связывают дзета-функцию с геометрией кривых.