Архимедово свойство
-
Архимедово свойство
- Архимедово свойство утверждает, что для любых двух положительных чисел x и y существует целое число n такое, что nx > y.
- Это означает, что множество натуральных чисел не ограничено сверху.
- Архимедово свойство возникло из теории величин Древней Греции и играет важную роль в современной математике.
-
История и происхождение
- Архимедово свойство названо Отто Штольцем в честь Архимеда Сиракузского.
- Архимед использовал бесконечно малые величины в эвристических аргументах.
-
Определение для линейно упорядоченных групп
- Группа G является архимедовой, если нет пары (x, y) такой, что x бесконечно мала по отношению к y.
- Аналогичное определение применимо к алгебраическим структурам с единицей.
-
Упорядоченные поля
- Упорядоченные поля обладают нулевой характеристикой и не имеют бесконечно малых элементов.
- Поле K является архимедовым, если выполняется аксиома Архимеда.
-
Определение для нормированных полей
- Поле K с функцией абсолютного значения является архимедовым, если для любого ненулевого x существует натуральное число n такое, что |x + … + x| > 1.
- Нормированное пространство является архимедовым, если сумма n членов, каждый из которых равен ненулевому вектору x, имеет норму больше единицы для достаточно больших n.
-
Примеры и не-примеры
- Поле действительных чисел является архимедовым как упорядоченное и нормированное.
- Поле рациональных чисел не является архимедовым как нормированное.
- Поле рациональных функций с вещественными коэффициентами не является архимедовым.
-
Пример бесконечно малой величины
- 1/x является бесконечно малой величиной в области рациональных чисел.
- Для любого натурального числа n, n(1/x) = n/x является положительным, но меньше 1.
-
Неархимедовы упорядоченные поля
- Использование рациональных функций с рациональными коэффициентами создает счетное неархимедово упорядоченное поле.
- Поля с p-адической метрикой и p-адические числа не обладают архимедовым свойством.
-
Эквивалентные определения архимедова упорядоченного поля
- Каждое линейно упорядоченное поле содержит рациональные числа как упорядоченное подполе.
- Натуральные числа являются кофинальными в K, что означает, что каждый элемент K меньше некоторого натурального числа.
- Ноль является нижней границей множества {1/2, 1/3, 1/4, …}.
- Множество элементов между положительной и отрицательной рациональностью не имеет открытой границы.
- Для любого x в K множество целых чисел, превышающих x, имеет наименьший элемент.
- Каждый непустой открытый интервал K содержит рациональное значение.
- Рационалы плотны в K относительно sup и inf.
- Архимедово поле — это любое плотное упорядоченное расширение рациональных чисел.