Оглавление
Замкнутый линейный оператор
-
Определение замкнутого линейного оператора
- Замкнутый линейный оператор — это линейный оператор, граф которого замкнут.
- Замкнутый оператор является ограниченным оператором.
- Замкнутые операторы обычно определяются в плотных подпространствах банаховых пространств.
-
Частичные функции и их графики
- Частичные функции определяются в подмножествах пространств.
- График частичной функции — это множество пар (x, f(x)), где x ∈ dom f.
- Замкнутый граф частичной функции — это замкнутое подмножество X × Y.
-
Закрываемые карты и замыкания
- Линейный оператор f: D ⊆ X → Y закрывается в X × Y, если существует векторное подпространство E ⊆ X и функция F: E → Y, график которой равен замыканию графа f в X × Y.
- Закрытие f в X × Y обозначается как f¯ и обязательно расширяет f.
- Ядро или существенная область f — это подмножество C ⊆ D, такое что замыкание графика ограничения f|C равно замыканию графа f в X × Y.
-
Примеры замкнутых операторов
- Ограниченный оператор является замкнутым.
- Замкнутые операторы могут быть разрывными, например, идентификационная карта Id: (X, τ) → (X, ν).
- Производный оператор A = d/dx может быть замкнутым, но не ограниченным, если его домен D(f) — C1([a, b]).
- Если D(f) — C∞([a, b]), то f не будет замкнутым, но его можно будет закрыть.
-
Основные свойства замкнутых операторов
- Если A замкнуто, то A − λIdD(f) также замкнуто.
- Если f замкнуто, то его ядро является замкнутым векторным подпространством X.
- Если f замкнуто и инъективно, то его обратное значение f-1 также замкнуто.
- Линейный оператор f допускает замыкание тогда и только тогда, когда для каждой пары последовательностей x и y в D(f), сходящихся к x в X, обе f(x) и f(y) сходятся в Y.