Список математических серий

• Основные свойства суммы бесконечного ряда

  • Ряд сходится при условии, что ряд сходится. 
  • Сумма ряда равна сумме его членов, если ряд сходится. 
  • Ряд сходится к постоянной, если его члены стремятся к нулю. 
  • Ряд сходится к нулю, если его члены стремятся к нулю быстрее, чем их сумма. 

• Примеры использования суммы бесконечного ряда

  • Ряд для натурального логарифма: ln(1+x) = ∑k=1∞(−1)kxk/k!. 
  • Ряд для экспоненциальной функции: e^x = ∑k=0∞xk/k!. 
  • Ряд для факториала: (1+x)n = ∑k=0∞kxn−1/k!. 

• Взаимосвязь тригонометрических и гиперболических функций

  • Ряд для синуса: sin(x) = ∑k=0∞(−1)kx2k+1/(2k+1)!. 
  • Ряд для гиперболического синуса: sinh(x) = ∑k=0∞x2k+1/(2k+1)!. 
  • Ряд для косинуса: cos(x) = ∑k=0∞(−1)kx2k/(2k)!. 
  • Ряд для гиперболического косинуса: cosh(x) = ∑k=0∞x2k/(2k)!. 

• Другие специальные функции и их ряды

  • Ряд для тангенса: tan(x) = ∑k=1∞(−1)k−1(22k−1)22kz2k−1/(2k)!, |x|<π/2. 
  • Ряд для котангенса: cot(x) = ∑k=0∞22kB2kz2k−1/(2k)!, |x|<π. 
  • Ряд для гиперболического тангенса: tanh(x) = ∑k=1∞(22k−1)22kz2k−1/(2k)!, |x|<π/2. 
  • Ряд для гиперболического котангенса: coth(x) = ∑k=0∞22kB2kz2k−1/(2k)!, |x|<π. 
  • Ряд для гиперболического косинуса: csch(x) = ∑k=0∞(22k−2)B2kz2k−1/(2k)!, |x|<π. 
  • Ряд для гиперболического синуса: csch(x) = ∑k=0∞−(22k−2)B2kz2k−1/(2k)!, |x|<π. 
  • Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.