Метка: Расширения полей

Алгебраическое расширение Определение алгебраического расширения Алгебраическое расширение поля K над полем F — это поле E, такое, что каждый элемент E является алгебраическим над F.  Алгебраическое расширение является расширением поля, которое сохраняет алгебраические свойства.  Примеры алгебраических расширений Поле комплексных чисел является алгебраическим расширением поля рациональных чисел.  Поле действительных чисел является алгебраическим расширением поля рациональных чисел. …

Алгебраическое замыкание Определение и свойства алгебраического замыкания Алгебраическое замыкание поля K — это алгебраическое расширение, которое алгебраически замкнуто.  Каждое поле имеет уникальное алгебраическое замыкание с точностью до изоморфизма.  Алгебраическое замыкание K является наибольшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K.  Если M — любое алгебраически замкнутое поле, содержащее K, элементы M, которые алгебраически над K, образуют алгебраическое…

Простое расширение Простое расширение поля K порождается элементом θ.  В случае конечных полей термин «примитивный элемент» обычно используется для обозначения более сильного понятия.  Структура простых расширений зависит от свойств кольца многочленов K[X].  В случае инъективного гомоморфизма φ, поле дробей K(X) может быть изоморфным L.  Если φ не является инъективным, частное кольцо K[X]/⟨p(X)⟩ является полем.  У…

Простое расширение Простое расширение поля K порождается элементом θ.  В случае конечных полей термин «примитивный элемент» обычно используется для обозначения более сильного понятия.  Структура простых расширений зависит от свойств кольца многочленов K[X].  В случае инъективного гомоморфизма φ, поле дробей K(X) может быть изоморфным L.  Если φ не является инъективным, частное кольцо K[X]/⟨p(X)⟩ является полем.  У…

Нормальное расширение Нормальное расширение — алгебраическое расширение поля K, такое, что любой элемент из K имеет одинаковое изображение в L.  Нормальное расширение может быть определено через разделение поля или гомоморфизмы, фиксирующие элементы из K.  Примеры нормальных расширений включают Q(2) и Q(23), которые являются нормальными продолжениями Q.  Нормальное замыкание расширения L из K существует и является…

Отделяемый удлинитель Отделимость расширения поля F в поле E определяется как возможность разделения F через E.  Теорема о примитивных элементах связывает отделимость с алгебраическими расширениями.  Разделимое замыкание F в алгебраическом расширении E является единственным промежуточным полем, отделимым от F и над которым E чисто неотделимо.  В алгебраической геометрии отделимость трансцендентных расширений может быть изучена с…

Степень расширения поля Формула мультипликативности связывает степень расширения поля над другим полем с размерностью векторного пространства над этим полем.  Доказательство формулы для конечного поля основано на использовании базисов и линейной независимости элементов.  Примеры включают комплексные числа, расширение поля Q (√2, √3) и конечное поле GF(125).  Обобщение формулы касается векторных пространств над кольцами деления с разными…

Алгебраическое расширение Алгебраическое расширение поля — расширение поля, в котором все элементы алгебраичны.  Алгебраически замкнутое поле не имеет собственных алгебраических расширений.  Каждое поле имеет алгебраическое расширение, которое является его алгебраическим замыканием.  Теория моделей обобщает понятие алгебраического расширения на произвольные теории.  Относительное алгебраическое замыкание поля определяется как подполе, состоящее из алгебраических элементов над данным полем.  Полный…

Степень расширения поля Формула мультипликативности связывает степень расширения поля над другим полем с размерностью векторного пространства над этим полем.  Доказательство формулы для конечного поля основано на использовании базисов и линейной независимости элементов.  Примеры включают комплексные числа, расширение поля Q (√2, √3) и конечное поле GF(125).  Обобщение формулы касается векторных пространств над кольцами деления с разными…

Расширение поля деятельности Расширения полей играют важную роль в математике, позволяя изучать новые области и решать проблемы.  Расширение поля L/K определяется как множество элементов, которые могут быть выражены через элементы K.  Поле K имеет алгебраическое замыкание, которое является наибольшим алгебраическим расширением.  Трансцендентальное расширение определяется как расширение поля, в котором существует трансцендентное основание.  Нормальное расширение является…

Алгебраическое замыкание Алгебраическое замыкание поля K является алгебраическим расширением, которое алгебраически замкнуто.  Каждое поле имеет алгебраическое замыкание, и алгебраическое замыкание K уникально с точностью до изоморфизма.  Алгебраическое замыкание K можно рассматривать как наибольшее алгебраическое расширение K.  Алгебраическое замыкание K является наименьшим алгебраически замкнутым полем, содержащим K.  Алгебраическое замыкание поля K имеет ту же мощность, что…

Расширение поля деятельности Расширения полей играют важную роль в математике, позволяя изучать новые области и решать проблемы.  Расширение поля L/K определяется как множество элементов, которые могут быть выражены через элементы K.  Поле K имеет алгебраическое замыкание, которое является наибольшим алгебраическим расширением.  Трансцендентальное расширение определяется как расширение поля, в котором существует трансцендентное основание.  Нормальное расширение является…

Расширение поля деятельности Расширения полей играют важную роль в математике, позволяя изучать новые области и решать проблемы.  Расширение поля L/K определяется как множество элементов, которые могут быть выражены через элементы K.  Поле K имеет алгебраическое замыкание, которое является наибольшим алгебраическим расширением.  Трансцендентальное расширение определяется как расширение поля, в котором существует трансцендентное основание.  Нормальное расширение является…

Расширение поля деятельности Расширения полей играют важную роль в математике, позволяя изучать новые области и решать проблемы.  Расширение поля L/K определяется как множество элементов, которые могут быть выражены через элементы K.  Поле K имеет алгебраическое замыкание, которое является наибольшим алгебраическим расширением.  Трансцендентальное расширение определяется как расширение поля, в котором существует трансцендентное основание.  Нормальное расширение является…