Оглавление
- 1 Абелево многообразие
- 1.1 Определение и свойства абелевых многообразий
- 1.2 История и мотивация
- 1.3 Аналитическая теория
- 1.4 Условия Римана
- 1.5 Абелевы функции
- 1.6 Важные теоремы
- 1.7 Алгебраическое определение
- 1.8 Структура абелевых многообразий
- 1.9 Произведения и изогенность
- 1.10 Двойственное абелево многообразие
- 1.11 Поляризации
- 1.12 Абелева схема
- 1.13 Пример и несуществование
- 1.14 Полуабелево многообразие
- 1.15 Полный текст статьи:
- 2 Абелева разновидность
Абелево многообразие
-
Определение и свойства абелевых многообразий
- Абелево многообразие — это гладкое проективное алгебраическое многообразие, являющееся алгебраической группой.
- Абелевы многообразия имеют групповой закон, определяемый регулярными функциями.
- Абелевы многообразия могут быть определены над любым полем.
-
История и мотивация
- В начале XIX века теория эллиптических функций заложила основу для теории абелевых многообразий.
- Нильс Абель и Карл Якоби ввели понятие абелевой поверхности.
- В 1920-х годах Лефшец заложил основу для изучения абелевых функций в терминах комплексных торов.
- Андре Вейль придал этому предмету современные основы в 1940-х годах.
-
Аналитическая теория
- Комплексный тор размерности g — это тор действительной размерности 2g, имеющий структуру комплексного многообразия.
- Комплексное абелево многообразие размерности g — это комплексный тор, являющийся проективным алгебраическим многообразием над полем комплексных чисел.
- Морфизм абелевых многообразий сохраняет элемент тождества для структуры группы.
-
Условия Римана
- Комплексный тор является абелевым многообразием, если существует положительно определенная эрмитова форма на V, мнимая часть которой принимает целые значения на L × L.
- Якобиан алгебраической кривой — это абелево многообразие, ассоциированное с кривой C.
-
Абелевы функции
- Абелева функция — это мероморфная функция на абелевом многообразии, имеющая 2n независимых периодов.
- Абелевы функции важны для теории чисел и динамических систем.
-
Важные теоремы
- Теорема Мацусаки утверждает, что каждое абелево многообразие является частным от якобиана некоторой кривой.
- Абелевы многообразия являются групповыми многообразиями, их группа точек коммутативна.
-
Алгебраическое определение
- Абелево многообразие определяется как связная и полная алгебраическая группа над k или связная и проективная алгебраическая группа над k.
- Эллиптические кривые являются абелевыми многообразиями размерности 1.
-
Структура абелевых многообразий
- n-торсионная часть изоморфна произведению 2g копий циклической группы порядка n.
- В алгебраически замкнутых полях с характеристикой p n-кручение изоморфно (Z/nZ)2g при n и p взаимно просты.
- В общем случае n-кручение определяет конечную плоскую групповую схему ранга 2g.
-
Произведения и изогенность
- Произведение абелевых многообразий размерности m и n является абелевым многообразием размерности m+n.
- Абелево многообразие является простым, если оно не изогенно произведению абелевых многообразий меньшей размерности.
- Любое абелево многообразие изогенно произведению простых абелевых многообразий.
-
Двойственное абелево многообразие
- С абелевым многообразием A связано двойственное абелево многообразие A^∨.
- Семейство линейных расслоений степени 0 на A^∨ параметризовано A^∨.
- Двойственное абелево многообразие имеет естественную групповую операцию, заданную тензорным произведением линейных расслоений.
-
Поляризации
- Поляризация абелева многообразия — это изогения от абелева многообразия к его двойственному.
- Поляризованные абелевы многообразия имеют конечные группы автоморфизмов.
- Основная поляризация — это поляризация, которая является изоморфизмом.
-
Абелева схема
- Абелева схема над базовой схемой S — это правильная, гладкая групповая схема над S.
- Слои абелевой схемы являются абелевыми многообразиями.
- Группа из n-точек кручения образует конечную плоскую групповую схему.
-
Пример и несуществование
- Пример: абелева схема над R[x,y,z]/(y2z-x3-Axz2-Bz3) является абелевой схемой над Spec R.
- Виктор Абрашкин и Жан-Марк Фонтейн доказали, что не существует ненулевых абелевых многообразий над Q с хорошим сокращением по всем простым числам.
-
Полуабелево многообразие
- Полуабелево многообразие — это коммутативное групповое многообразие, являющееся продолжением абелева многообразия тором.