Оглавление [Скрыть]
C*-алгебра
-
Определение C*-алгебр
- C*-алгебра — это банахова алгебра с инволюцией, удовлетворяющей свойствам сопряженной.
- Частные случаи включают алгебры непрерывных линейных операторов в гильбертовом пространстве и алгебры функций на локально компактных хаусдорфовых пространствах.
-
История и терминология
- Термин “C*-алгебра” введен И. E. Сигалом в 1947 году.
- Термин “B*-алгебра” введен С. E. Рикартом в 1946 году, но редко используется.
- C*-алгебры используются в квантовой механике и теории унитарных представлений локально компактных групп.
-
Структура C*-алгебр
- C*-алгебры обладают свойствами, удобными для функционального исчисления и редукции к коммутативным C*-алгебрам.
- Самосопряженные элементы образуют замкнутый выпуклый конус, который является частично упорядоченным векторным пространством.
- Приблизительные тождества позволяют определить алгебраическое отношение C*-алгебры к замкнутому двустороннему идеалу.
-
Примеры C*-алгебр
- Конечномерные C*-алгебры включают алгебры матриц и их конечные прямые суммы.
- C*-алгебры операторов включают алгебры B(H) и K(H) компактных операторов в гильбертовых пространствах.
- Коммутативные C*-алгебры включают алгебры функций на локально компактных хаусдорфовых пространствах.
-
C*-алгебры и их свойства
- C*-алгебра C0(X) состоит из комплекснозначных непрерывных функций на X, обращающихся в нуль на бесконечности.
- Инволюция в C0(X) — поточечное сопряжение.
- C0(X) имеет мультипликативный единичный элемент, если X компактно.
- C0(X) имеет приблизительную идентичность, что следует из теоремы о расширении Титце.
-
Представление Гельфанда
- Каждая коммутативная C*-алгебра изоморфна C0(X), где X — пространство символов со слабой* топологией.
- Изоморфизм C0(X) и C0(Y) означает гомеоморфизм X и Y.
-
C*-обертывающая алгебра
- Для Банаховой *-алгебры A с приближенным тождеством существует уникальная C*-алгебра E(A) и *-морфизм π.
- E(A) называется C*-обертывающей алгеброй A.
- C*-алгебра локально компактной группы G определяется как обертывающая C*-алгебра групповой алгебры G.
-
Алгебры Фон Неймана
- Алгебры Фон Неймана замкнуты в топологии слабого оператора.
- Теорема Шермана–Такеды утверждает, что любая C*-алгебра имеет универсальную обертывающую W*-алгебру.
-
Тип для C*-алгебр
- C*-алгебра A относится к типу I, если для всех невырожденных представлений π алгебра фон Неймана π(A)” является алгеброй фон Неймана I типа.
- Локально компактная группа относится к типу I, если её групповая C*-алгебра относится к типу I.
-
C*-алгебры и квантовая теория поля
- В квантовой механике C*-алгебры используются для описания физических систем.
- Состояние системы определяется как положительный функционал на C*-алгебре.
- C*-алгебры используются в аксиоматизации локальной квантовой теории поля Хаага–Кастлера.