Оглавление
- 1 Динамическая система, сохраняющая меру
- 1.1 Определение динамической системы
- 1.2 Примеры динамических систем
- 1.3 Свойства динамических систем
- 1.4 Гомоморфизмы и изоморфизмы
- 1.5 Общие моменты и символьная динамика
- 1.6 Операции с разбиениями и энтропия
- 1.7 Топологическая энтропия и эргодичность
- 1.8 Классификационные теоремы
- 1.9 Полный текст статьи:
- 2 Динамическая система, сохраняющая меру
Динамическая система, сохраняющая меру
-
Определение динамической системы
- Динамическая система – это тройка (X, B, T), где X – пространство, B – борелевская σ-алгебра, T – преобразование.
- Преобразование T отображает X в себя и сохраняет меру μ.
-
Примеры динамических систем
- Примеры включают систему, отображающую точки на окружности в точки на окружности, и систему, отображающую точки на прямой в точки на прямой.
-
Свойства динамических систем
- Динамические системы обладают свойствами непрерывности, обратимости, и сохранения меры.
- Существуют различные типы преобразований, включая непрерывные, обратимые и сохраняющие меру.
-
Гомоморфизмы и изоморфизмы
- Гомоморфизм – это отображение, которое сохраняет меру и удовлетворяет определенным условиям.
- Изоморфизм – это гомоморфизм, который также является взаимно однозначным отображением.
-
Общие моменты и символьная динамика
- Точка x называется общей точкой, если ее орбита равномерно распределена.
- Символическое имя точки – это последовательность целых чисел, соответствующая разбиению пространства.
- Генераторное разбиение – это разбиение, для которого каждая точка имеет уникальное символьное имя.
-
Операции с разбиениями и энтропия
- Определены операции с разбиениями, такие как уточнение и итерационный откат.
- Энтропия динамической системы определяется как мера неопределенности ее орбиты.
- Теорема Якова Синая утверждает, что энтропия определяется на образующих разбиениях.
-
Топологическая энтропия и эргодичность
- В случае компактного пространства и абсолютной непрерывности меры Лебега, существует формула Рохлина для вычисления энтропии.
- Эргодичность означает, что каждая точка имеет полную меру или нулевую меру.
-
Классификационные теоремы
- Основная задача изучения систем, сохраняющих меру, – их классификация по свойствам.
- Пересказана только часть статьи. Для продолжения перейдите к чтению оригинала.