Расходящийся ряд
-
Расходящиеся ряды и их значение
- Расходящиеся ряды не имеют конечного предела, в отличие от сходящихся рядов.
- Сходящиеся ряды имеют члены, приближающиеся к нулю.
- Методы суммирования присваивают значения расходящимся рядам.
-
История и развитие
- До 19 века расходящиеся ряды использовались, но приводили к противоречивым результатам.
- Огюстен-Луи Коши дал строгое определение суммы сходящегося ряда.
- В 1886 году Анри Пуанкаре вновь ввел расходящиеся ряды.
- Эрнесто Чезаро дал определение суммы расходящегося ряда в 1890 году.
-
Примеры и теоремы
- Примеры расходящихся рядов и их суммы.
- Теоремы о методах суммирования, такие как абелева и тауберова теоремы.
- Банахов предел и его ограничения.
-
Свойства методов суммирования
- Методы суммирования концентрируются на последовательности частичных сумм.
- Регулярность, линейность и стабильность являются желательными свойствами методов суммирования.
- Согласованность методов суммирования важна для их эффективности.
-
Численные методы суммирования
- Нелинейные преобразования последовательностей и аппроксимации Паде.
- Методы перенормировки для теории возмущений.
- Принятие регулярности, линейности и стабильности за аксиомы упрощает суммирование расходящихся рядов.
-
Методы суммирования рядов
- Методы суммирования должны присваивать конечное значение геометрическому ряду.
- Методы суммирования для расходящихся рядов расширяют классические методы.
-
Абсолютная сходимость
- Определяет сумму как предел суммы частичных сумм.
- Не зависит от порядка элементов.
-
Сумма ряда
- Определяет сумму как предел последовательности частичных сумм.
- Является определением сходимости по умолчанию.
-
Нерлунд означает
- Определяет среднее значение как предел взвешенного среднего.
- Является регулярным, линейным и стабильным.
-
Подведение итогов Чезаро
- Определяет суммы Чезаро как средние значения Нерлунда.
- Является регулярным, линейным, стабильным и непротиворечивым.
-
Абелевы средства
- Определяет абелево среднее значение как предел степенного ряда.
- Является регулярным и линейным, но не стабильным.
-
Суммирование по Абелю
- Определяет сумму как предел степенного ряда при z = 1.
- Согласуется с суммированием по Чезаро.
-
Суммирование по Линделефу
- Определяет сумму как предел степенного ряда при x = 0.
- Применяется для вычисления степенных рядов.
-
Аналитическое продолжение
- Использует значение аналитического продолжения функции.
- Примеры включают суммирования по Эйлеру и Дирихле.
-
Регуляризация дзета-функции
- Определяет сумму как значение аналитического продолжения при s = -1.
- Применяется в приложениях с дзета-функциями.
-
Интегральная функция означает
- Определяет сумму как предел интегральной функции.
- Включает борелевское суммирование и метод Валирона.
-
Мгновенные методы
- Определяет сумму как интеграл по мере.
- Включает суммирование по Борелю и его обобщения.
-
Гиперреалистичное суммирование левов
- Использует гиперреальные числа для представления значений расходящихся рядов.
- Суммирует до определенного гиперреального бесконечного значения.
-
Методы суммирования бесконечных рядов
- Метод суммирования по Гельдеру
- Метод Хаттона
- Суммируемость по Ингаму
- Суммируемость по Ламберту
- Подведение итогов Леруа
- Суммирование Миттага-Леффлера
- Подведение итогов Рамануджана
- Суммируемость по Риману
- Суммируемость по Валле-Пуссену
- Суммируемость по Зельдовичу
-
Теорема Сильвермана–Теплица
- Записи
- Рекомендации
-
Литература
- Вернер Бальзер: «От расходящихся степенных рядов к аналитическим функциям»
- Уильям О. Брэй и Часлав В. Станоевич (ред.): «Анализ расхождений»
- Александр I. Сайчев и Войбор Войчински: «Распределения в физических и инженерных науках, том 1»