Дополнение Минковского
-
Определение суммы и разности Минковского
- Сумма Минковского: A + B = {a + b | a ∈ A, b ∈ B}
- Разность Минковского: (A − B) = {−b | b ∈ B}
- Сумма и разность симметричны, но не эквивалентны
-
Примеры и свойства
- Сумма двух множеств может быть выпуклым или невыпуклым множеством
- Сумма замкнутых множеств может быть открытым множеством
- Сумма двух замкнутых множеств может быть замкнутым множеством, если хотя бы одно из них компактно
-
Выпуклые оболочки и периметры
- Сумма выпуклых множеств является выпуклым множеством
- Периметр суммы равен сумме периметров
- Сумма Минковского действует линейно на периметр двумерных выпуклых тел
-
Приложения
- Используется в математической морфологии и компьютерной графике
- Применяется в планировании движения и обработке с ЧПУ
- Используется в теории агрегации и обнаружении столкновений
-
Алгоритмы вычисления
- Сумма выпуклых многоугольников на плоскости: O(m + n)
- Сумма выпуклого и невыпуклого многоугольников: O(nm)
- Сумма невыпуклых многоугольников: O((mn)2)
- Существенная сумма Минковского: +e
-
Сумма Минковского
- Обычная сумма Минковского: A + B = {z ∈ Rn | A ∩ (z − B) ≠ ∅}
- Существенная сумма Минковского: A +e B = {z ∈ Rn | μ[A ∩ (z − B)] > 0}
- Функция индикатора: 1A + B(z) = supx ∈ Rn 1A(x)1B(z − x)
- 1A +e B(z) = esssupx ∈ Rn 1A(x)1B(z − x)
-
Сумма Lp Минковского
- Для K и L компактных выпуклых подмножеств в Rn, сумма Минковского: hK + L = hK + hL
- Для p ≥ 1, сумма Lp Минковского: hK +p Lp = hKp + hLp
- Функция hK +p Lp положительно однородна и выпукла
-
Теория Л.П. Брунна-Минковского
- Многогранник суммы Блашке
- Теорема Брунна–Минковского
- Свертка
- Дилатация
- Эрозия
- Интервальная арифметика
- Смешанный объем
- Параллельная кривая
- Лемма Шепли–Фолкмана
- Sumset
- Топологическое векторное пространство
- Зонотоп
-
Внешние ссылки
- Суммы Минковского в библиотеке алгоритмов вычислительной геометрии
- “Сумма двух треугольников по Минковскому” и “Сумма диска и многоугольника по Минковскому” Джорджа Бека
- Добавление выпуклых форм Минковским от Александра Богомольного
- Викиучебники: Руководство пользователя OpenSCAD/Преобразования#minkowski Мариуса Кинтеля
- Применение дополнения Минковского в робототехнике Джоан Джерард
- Демонстрация аддитивности Минковского, выпуклой монотонности и других свойств расстояния между землеройными машинами