Оглавление
- 1 Двойное пространство
- 1.1 Определение двойственного пространства
- 1.2 Алгебраическое двойственное пространство
- 1.3 Сопряжение и билинейные отображения
- 1.4 Конечномерный случай
- 1.5 Бесконечномерный случай
- 1.6 Двойственное пространство бесконечномерных векторных пространств
- 1.7 Билинейные формы и двойные пространства
- 1.8 Инъекция в двойной дуал
- 1.9 Транспонирование линейной карты
- 1.10 Частные пространства и аннигиляторы
- 1.11 Семейства подмножеств
- 1.12 Двойственное пространство
- 1.13 Пространственный анализ
- 1.14 Непрерывное двойственное пространство
- 1.15 Топологии на двойственном пространстве
- 1.16 Примеры
- 1.17 Теорема о представлении Рисса
- 1.18 Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани
- 1.19 Транспонирование непрерывной линейной карты
- 1.20 Уничтожители
- 1.21 Дополнительные свойства
- 1.22 Двойной двойник
- 1.23 Полный текст статьи:
- 2 Двойное пространство
Двойное пространство
-
Определение двойственного пространства
- Двойственное пространство V^* состоит из всех линейных форм на V.
- Двойственное пространство имеет векторную структуру поточечного сложения и скалярного умножения.
- Двойственное пространство может быть топологическим или алгебраическим.
-
Алгебраическое двойственное пространство
- Алгебраическое двойственное пространство V^* определяется как совокупность всех линейных отображений V в F.
- Двойственное пространство становится векторным пространством при наличии функции сложения и скалярного умножения.
- Элементы двойственного пространства называются ковекторами, одноформными или линейными формами.
-
Сопряжение и билинейные отображения
- Сопряжение функционального φ в двойственном пространстве V^* и элемента x из V обозначается скобкой φ(x) = [x, φ].
- Это сопряжение определяет невырожденное билинейное отображение.
- Естественное спаривание ⟨⋅, ⋅⟩: V × V^* → F называется билинейным произведением.
-
Конечномерный случай
- Если V конечномерно, V^* имеет тот же размер.
- Двойственное основание V^* определяется как набор линейных функционалов на V.
- Двойственное основание удовлетворяет свойству биортогональности.
-
Бесконечномерный случай
- Если V бесконечномерно, но имеет базис eα, индексируемый бесконечным множеством A, двойственное пространство V^* также бесконечномерно.
-
Двойственное пространство бесконечномерных векторных пространств
- Двойственное пространство бесконечномерного векторного пространства V над полем F изоморфно пространству функций от A к F.
- Линейные функционалы на V определяются значениями на основе V.
- Двойственное пространство V всегда имеет большую размерность, чем V.
-
Билинейные формы и двойные пространства
- В конечномерных векторных пространствах V изоморфно V∗.
- Билинейные формы определяют линейные отображения V в V∗.
- Невырожденные билинейные формы определяют изоморфизмы V на подпространства V∗.
-
Инъекция в двойной дуал
- Существует естественный гомоморфизм Ψ от V в двойной дуал V∗∗.
- Ψ всегда инъективен и изоморфизм в конечномерных векторных пространствах.
-
Транспонирование линейной карты
- Транспонирование линейной карты f : V → W определяется как f∗ : W∗ → V∗.
- Транспонирование создает инъективное линейное отображение между пространствами линейных операторов.
-
Частные пространства и аннигиляторы
- Аннигилятор подмножества S в V∗ состоит из линейных функционалов, обращающихся в нуль на S.
- Аннигилятор нулевого вектора равен V∗, а аннигилятор всего пространства равен {0} ⊆ V∗.
- Назначение аннигилятора подмножеству меняет местами включения.
-
Семейства подмножеств
- Семейство подмножеств V индексируется по i, принадлежащему набору индексов I.
- Если A и B являются подпространствами V, то A и B также являются подмножествами V.
-
Двойственное пространство
- Двойственное пространство V∗ является подпространством V, индексируемым по i.
- Если V конечномерно, то V∗ является изоморфным V.
- Аннигилятор образует связность Галуа на решетке подмножеств конечномерного векторного пространства.
-
Пространственный анализ
- Двойственное пространство аналогично пространству “отрицательного” измерения.
- Вектор v может быть соединен с ковектором φ через естественное спаривание.
- Двойственное пространство ведет себя как (-n)-многомерное пространство.
-
Непрерывное двойственное пространство
- Непрерывное двойственное пространство V′ является линейным подпространством V∗.
- Для конечномерных нормированных пространств непрерывная двойственность совпадает с алгебраической.
- В теории топологических векторных пространств V′ определяется как пространство всех непрерывных линейных функционалов.
-
Топологии на двойственном пространстве
- Существует стандартная конструкция для введения топологии на V′.
- Топология на V′ определяется через полунормы вида φ(A), где φ — непрерывный линейный функционал на V, а A — подмножество V.
- Сильная топология на V′ является топологией равномерной сходимости на ограниченных подмножествах V.
- Стереотипная топология на V′ является топологией равномерной сходимости на полностью ограниченных подмножествах V.
- Слабая топология на V′ является топологией равномерной сходимости на конечных подмножествах V.
-
Примеры
- Непрерывный дуал ℓp отождествляется с ℓq.
- Непрерывная двойственность ℓ1 отождествляется с ℓ∞.
- Непрерывные двойники банаховых пространств c и c0 отождествляются с ℓ1.
-
Теорема о представлении Рисса
- Непрерывное двойственное Гильбертово пространство является гильбертовым пространством, антиизоморфным исходному.
- Используется физиками при математической формулировке квантовой механики.
-
Теорема о представлении Рисса–Маркова–Какутани
- Непрерывная двойственность определенных пространств непрерывных функций описывается с помощью мер.
-
Транспонирование непрерывной линейной карты
- Транспонирование T’ : W’ → V’ определяется по формуле T'(φ) = T(φ) для всех φ ∈ W’.
- Присваивание T → T’ создает линейное отображение между пространствами непрерывных линейных отображений.
- Норма транспонирования в L(W’, V’) равна норме транспонирования T в L(V, W) для нормированных пространств.
- Ограниченное линейное отображение T имеет плотный диапазон тогда и только тогда, когда T’ инъективно.
- Компактное линейное отображение T между банаховыми пространствами V и W имеет компактное транспонирование T’.
- Для гильбертова пространства V существует антилинейный изоморфизм iV от V к V’.
- Транспонирование T’ непрерывно, когда W’ и V’ оснащены совместимыми топологиями.
-
Уничтожители
- Двойственность частного V / W может быть отождествлена с W⊥, а двойственность W может быть отождествлена с V’ / W⊥.
- Транспонирование P’ является изометрическим изоморфизмом из (V / W)’ в V’ с диапазоном W⊥.
- Ядро транспонирования j’ является уничтожителем W, и j’ индуцирует изометрический изоморфизм V’ / W⊥ → W’.
-
Дополнительные свойства
- Если двойственность нормированного пространства V отделима, то и само пространство V тоже.
- Обратное неверно: пространство ℓ 1 является разделимым, а его двойственное ℓ ∞ – нет.
-
Двойной двойник
- Существует непрерывный линейный оператор Ψ : V → V” из нормированного пространства V в его непрерывный двойной дуал V”.
- Ψ является изометрией, что означает ‖ Ψ(x) ‖ = ‖ x ‖ для всех x ∈ V.
- Нормированные пространства, для которых Ψ является биекцией, называются рефлексивными.
- В топологических векторных пространствах Ψ может быть тривиальным, если V локально не выпукло.
- В локально выпуклых пространствах Ψ инъективен от V к алгебраическому двойственному V’∗.
- Непрерывность Ψ зависит от выбора топологии на V’, что усложняет определение рефлексивности.