Оглавление
- 1 Эллиптическая краевая задача
- 1.1 Эллиптические краевые задачи
- 1.2 Дифференциальные уравнения и краевые задачи
- 1.3 Линейные эллиптические задачи
- 1.4 Линейные задачи второго порядка
- 1.5 Эллиптические операторы
- 1.6 Граничные условия
- 1.7 Пространства Соболева
- 1.8 Непрерывные и принудительные билинейные формы
- 1.9 Условия на a, b, c и Ω
- 1.10 Существование и единственность слабого решения
- 1.11 Эффективные решения
- 1.12 Теорема о регулярности
- 1.13 Почти везде есть решения
- 1.14 Эффективные решения для гладких многообразий
- 1.15 Численные решения
- 1.16 Собственные значения и собственные решения
- 1.17 Принцип максимума
- 1.18 Полный текст статьи:
- 2 Эллиптическая краевая задача
Эллиптическая краевая задача
-
Эллиптические краевые задачи
- Эллиптические краевые задачи описывают устойчивое состояние эволюционных задач.
- Примеры: задача Дирихле для лапласиана, уравнение теплопроводности.
-
Дифференциальные уравнения и краевые задачи
- Дифференциальные уравнения описывают широкий класс природных явлений.
- Краевые задачи определяют соотношения между величинами.
-
Линейные эллиптические задачи
- Линейные эллиптические задачи не связаны с временной переменной.
- Основной пример: оператор Лапласа.
-
Линейные задачи второго порядка
- Краевая задача состоит из уравнения в частных производных и граничного условия.
- Пример: задача Дирихле для оператора Лапласа.
-
Эллиптические операторы
- Эллиптический оператор удовлетворяет определенным условиям.
- Примеры условий: λmin(a(x)) > α, uT a(x)u > αuT u, ∑i,j=1n aij uiuj > α∑i=1n ui2.
-
Граничные условия
- Задача Дирихле: u = 0 на ∂Ω.
- Задача Неймана: uν = 0 на ∂Ω.
-
Пространства Соболева
- Пространство H1(Ω) состоит из функций, интегрируемых в квадраты.
- Слабая формулировка задачи: перефразирование в терминах пространств Соболева.
-
Непрерывные и принудительные билинейные формы
- Карта A(u, φ) определяется в пространстве H01 ⊂ H1.
-
Условия на a, b, c и Ω
- aij(x) непрерывно дифференцируется на Ω¯ для i, j = 1, …, n
- b(x) непрерывно на Ω¯ для i = 1, …, n
- c(x) непрерывно на Ω¯ и Ω ограничен
-
Существование и единственность слабого решения
- Если A(u, φ) принудительный и F(φ) непрерывный, существует единственное решение u ∈ H01(Ω)
- Если A(u, φ) симметричный, можно использовать теорему представления Рисса
-
Эффективные решения
- Решение u ∈ H01(Ω) не обязательно решает сильную систему
- Регулярность позволяет получить эффективные решения
-
Теорема о регулярности
- Если граница Ω C2 или Ω выпукло, решение u ∈ H2(Ω)
- Если граница кусочно C2, u не обязательно в H2
-
Почти везде есть решения
- Если u ∈ H2(Ω), вторые производные определяются почти везде
- L u = f почти везде
-
Эффективные решения для гладких многообразий
- Если граница Ω Ck и f бесконечно дифференцируема, u бесконечно дифференцируема
- L u = f с четким определением производной
-
Численные решения
- Эллиптические задачи часто решаются численно
- Существуют эффективные численные методы, такие как метод конечных элементов и спектральный метод
-
Собственные значения и собственные решения
- Спектральная теорема утверждает, что A(u, φ) имеет собственные значения и собственные векторы
- Собственные значения и векторы можно использовать для явного решения задачи
-
Принцип максимума
- Принцип слабого максимума утверждает, что максимум u достигается на границе
- Сильный принцип максимума утверждает, что u не может быть постоянным