Оглавление
- 1 Эргодическая теория
- 1.1 Эргодическая теория
- 1.2 Основные понятия
- 1.3 Эргодические теоремы
- 1.4 Приложения
- 1.5 Эргодические преобразования
- 1.6 Эргодичность и полная интегрируемость
- 1.7 Эргодическая теорема
- 1.8 Сходимость эргодических средних
- 1.9 Время пребывания
- 1.10 Эргодические потоки на многообразиях
- 1.11 Исторические и современные ссылки
- 1.12 Полный текст статьи:
- 2 Эргодическая теория
Эргодическая теория
-
Эргодическая теория
- Раздел математики, изучающий статистические свойства детерминированных динамических систем
- Основана на теории измерений и статистической физике
- Центральные проблемы: поведение системы при длительном времени работы
-
Основные понятия
- Детерминированные динамические системы: уравнения без случайных возмущений
- Эргодические системы: системы, для которых среднее значение по времени равно среднему значению по пространству
- Эргодические преобразования: преобразования, которые перемешивают элементы набора
-
Эргодические теоремы
- Теорема Пуанкаре: почти все точки возвращаются к множеству
- Теорема Биркгофа: среднее значение по времени почти везде равно среднему значению по пространству
- Теорема фон Неймана: среднее значение по времени сходится к среднему значению по пространству в гильбертовых пространствах
-
Приложения
- Геометрия: геодезический поток на римановых многообразиях
- Теория вероятностей: цепи Маркова
- Гармонический анализ: теория представлений, решетки в алгебраических группах
- Теория чисел: теория диофантовых приближений, L-функции
-
Эргодические преобразования
- Иррациональное вращение окружности: эргодическое преобразование
- Сдвиг Бернулли: эргодическое преобразование
- Эргодичность непрерывной динамической системы: траектории “разбросаны” по фазовому пространству
-
Эргодичность и полная интегрируемость
- Эргодичность: системы с компактным фазовым пространством и непостоянным первым интегралом не могут быть эргодическими
- Полная интегрируемость: системы с компактным фазовым пространством и постоянным первым интегралом могут быть эргодическими
-
Эргодическая теорема
- Утверждает, что среднее поведение функции на больших временных интервалах аппроксимируется ортогональной составляющей, не зависящей от времени.
- Распространяется на сильно непрерывные однопараметрические группы унитарных операторов.
-
Сходимость эргодических средних
- Эргодические средние сходятся к проектору в сильной операторной топологии Lp при 1 ≤ p ≤ ∞ и в слабой операторной топологии при p = ∞.
- Для ƒ ∈ Lp эргодические средние доминируют в Lp, но могут не совпадать в L1.
- Для ƒ ∈ L1 эргодические средние могут не совпадать в Lp.
-
Время пребывания
- В эргодической системе относительная величина A равна среднему времени пребывания.
- Среднее время повторения A обратно пропорционально величине A.
-
Эргодические потоки на многообразиях
- Эргодичность геодезического потока на компактных римановых поверхностях доказана Эберхардом Хопфом.
- Связь между геодезическими потоками и однопараметрическими подгруппами описана Фоминым и Гельфандом.
- Эргодичность геодезического потока на римановых симметричных пространствах доказана Маутнером.
- Эргодичность геодезического потока на компактных многообразиях переменной отрицательной кривизны сечения доказана Аносовым и Синаем.
- Эргодичность однородного потока на однородном пространстве полупростой группы Ли доказана Муром.
-
Исторические и современные ссылки
- Эргодическая теория включает работы Арнольда, Бреймана, Петерсена, Пен, Розенблатта, Ширяева, Ласоты, Макки, Айнзидлера, Уорда, Хокинса.
- Ссылки на внешние ресурсы включают заметки Космы Рохиллы Шализи и статьи в Мире физики.