Оглавление
- 1 Естественная трансформация
- 1.1 Определение естественных преобразований
- 1.2 Примеры естественных преобразований
- 1.3 Двойной дуал векторного пространства
- 1.4 Конечное исчисление
- 1.5 Оператор конечной разности
- 1.6 Тензорно-гомологическое присоединение
- 1.7 Неестественный изоморфизм
- 1.8 Пример: фундаментальная группа торов
- 1.9 Пример: дуал конечномерного векторного пространства
- 1.10 Векторные пространства и билинейные формы
- 1.11 Естественные преобразования
- 1.12 Вискеринг и закон взаимообмена
- 1.13 Категории функторов
- 1.14 Примеры естественных преобразований
- 1.15 Исторические заметки
- 1.16 Совпадение различных способов построения гомологий
- 1.17 Трудности без языка естественных преобразований
- 1.18 Дополнительные ресурсы
- 1.19 Внешние ссылки
- 1.20 Полный текст статьи:
- 2 Естественная трансформация
Естественная трансформация
-
Определение естественных преобразований
- Естественные преобразования обеспечивают способ преобразования одного функтора в другой при сохранении внутренней структуры категорий.
- Естественная трансформация η от F к G — это семейство морфизмов ηX: F(X) → G(X), удовлетворяющее двум требованиям.
- Морфизм ηX называется компонентом η около X.
- Компоненты должны быть такими, чтобы для каждого морфизма f: X → Y в C у нас было ηY ∘ F(f) = G(f) ∘ ηX.
-
Примеры естественных преобразований
- Противоположная группа: ηG(a) = a^-1, ηG(b) = b^-1, ηG(ab) = a^-1b^-1.
- Модули: η: M ⊗ R- → M’ ⊗ R-, ηN: HomR(M’, N) → HomR(M, N).
- Абелианизация: πG: G → Gab, πH∘f = fab∘πG.
- Гомоморфизм Гуревича: hn: πn → Hn, hn — естественная трансформация.
- Определяющий фактор: detR: GLn(R) → GLn(S), detS∘f∗ = detR∘GLn(f).
-
Двойной дуал векторного пространства
- Для каждого векторного пространства V над полем K существует естественное линейное отображение V → V∗∗.
- Эти отображения являются компонентами естественного преобразования из функтора identity в функтор double dual.
-
Конечное исчисление
- Множество функций от целых чисел до базового набора G образует абелеву группу VZ(G) при точечном сложении.
- Функтор VZ: Ab → Ab задается левым составлением морфизмов абелевых групп.
-
Оператор конечной разности
- Оператор ΔG выполняет каждую функцию f: Z → U(G) к Δ(f): n ↦ f(n+1) − f(n).
- Это карта из VZ(G) к самому себе, а также к коллекции Δ таких карт.
-
Тензорно-гомологическое присоединение
- Для всех абелевых групп X, Y и Z существует групповой изоморфизм, определяющий естественное преобразование между функторами Ab операция × Ab операция × Ab → Ab.
- Это тензорно-гомологическое присоединение, типичный пример пары сопряженных функторов.
-
Неестественный изоморфизм
- Понятие естественного преобразования является категорическим и утверждает, что конкретное отображение между функторами может быть выполнено последовательно по всей категории.
- Конкретная карта между объектами может быть названа неестественным изоморфизмом, если она не может быть расширена до естественного преобразования.
-
Пример: фундаментальная группа торов
- Гомотопические группы продуктового пространства естественно являются произведением гомотопических групп компонентов.
- Фундаментальная группа тора не является естественным изоморфизмом, так как некоторые изоморфизмы не сохраняют произведение.
-
Пример: дуал конечномерного векторного пространства
- Каждое конечномерное векторное пространство изоморфно своему двойственному пространству, но между ними может быть много различных изоморфизмов.
- В общем случае не существует естественного изоморфизма между конечномерным векторным пространством и его двойственным пространством.
- Для определения естественного изоморфизма требуется добавить дополнительную структуру и ограничить отображения.
-
Векторные пространства и билинейные формы
- Векторные пространства с невырожденной билинейной формой образуют категорию.
- Изоморфизмы между пространствами определяются билинейной формой.
- Ограничение доступа к картам сохраняет билинейную форму.
-
Естественные преобразования
- Естественные преобразования между функторами образуют категорию.
- Вертикальная композиция естественных преобразований ассоциативна и имеет идентичность.
- Горизонтальная композиция естественных преобразований также ассоциативна и имеет идентичность.
-
Вискеринг и закон взаимообмена
- Вискеринг связывает функторы и естественные преобразования.
- Закон взаимообмена связывает вертикальную и горизонтальную композиции.
-
Категории функторов
- Категория функторов C^I имеет объекты функторы из I в C и морфизмы естественные преобразования.
- Изоморфизмы в C^I являются естественными изоморфизмами.
- Категория функторов полезна для ориентированных графов.
-
Примеры естественных преобразований
- Пределы и коллимиты являются примерами естественных преобразований.
- Лемма Йонеды описывает естественные преобразования между представимыми функторами.
-
Исторические заметки
- Сондерс Мак Лейн отметил важность естественных преобразований в теории категорий.
-
Совпадение различных способов построения гомологий
- Группы, определенные непосредственно, изоморфны группам сингулярной теории
- Группы гомологий совместимы с морфизмами между объектами
- Две эквивалентные теории гомологии имеют одинаковые группы гомологий и морфизмы между ними
-
Трудности без языка естественных преобразований
- Нелегко выразить совместимость групп гомологий с морфизмами
- Две эквивалентные теории гомологии должны иметь одинаковые группы гомологий и морфизмы между ними
-
Дополнительные ресурсы
- Математический портал
- Сверхъестественная трансформация
- Универсальное свойство
- Теория высших категорий
- Записи
- Рекомендации
-
Внешние ссылки
- nLab – вики-проект по математике, физике и философии с акцентом на n-категориальную точку зрения
- J. Адамек, Х. Херрлих, Г. Строгие, абстрактные и конкретные категории – Радость кошек
- Стэнфордская философская энциклопедия: “Теория категорий” — автор Жан-Пьер Маркиз
- Обширная библиография
- Баэз, Джон, 1996, “История о n-категориях”. Неофициальное введение в более высокие категории