Оглавление
- 1 Разложение на множители
- 1.1 Факторизация в математике
- 1.2 История факторизации
- 1.3 Факторизация целых чисел
- 1.4 Факторизация выражений
- 1.5 Общие методы факторизации
- 1.6 Группировка и сложение
- 1.7 Факторизация с комплексными числами
- 1.8 Узнаваемые узоры
- 1.9 Корни единства
- 1.10 Факторизация с рациональными коэффициентами
- 1.11 Многочлены и алгебраические уравнения
- 1.12 Факторизация многочленов
- 1.13 Факторизация с рациональными коэффициентами
- 1.14 Рациональные корни
- 1.15 Квадратичный метод переменного тока
- 1.16 Использование формул для вычисления корней
- 1.17 Использование связей между корнями
- 1.18 Уникальные области факторизации
- 1.19 Наибольшие общие делители и UFD
- 1.20 Алгебраические целые числа
- 1.21 Матрицы и факторизация
- 1.22 Полный текст статьи:
- 2 Факторизация
Разложение на множители
-
Факторизация в математике
- Факторизация — это разложение числа или объекта на множители.
- В системах счисления с делением факторизация не значима.
- В рациональных числах факторизация возможна через разложение числителя и знаменателя.
-
История факторизации
- Факторизация была рассмотрена древнегреческими математиками.
- Фундаментальная теорема арифметики утверждает, что каждое натуральное число можно разложить на простые числа.
- Полиномиальная факторизация изучалась на протяжении веков.
-
Факторизация целых чисел
- Каждое целое число, большее 1, имеет уникальную разложимость на простые числа.
- Для вычисления факторизации требуется алгоритм нахождения делителей.
- Метод разложения на множители неэффективен для больших чисел.
-
Факторизация выражений
- Факторизация важна для упрощения выражений и нахождения корней.
- Фундаментальная теорема алгебры утверждает, что многочлен можно разложить на линейные множители.
- История факторизации выражений начинается с IX века.
-
Общие методы факторизации
- Общий фактор позволяет исключить общие множители.
- Если коэффициенты целые, можно вычесть наибольший общий делитель.
-
Группировка и сложение
- Группировка терминов позволяет использовать другие методы для факторизации.
- Пример: 4x^2+20x+3xy+15y = (4x+3y)(x+5).
- Сложение и вычитание слагаемых помогает завершить построение шаблона.
-
Факторизация с комплексными числами
- Ввод нереального квадратного корня из -1 приводит к разнице в квадратах.
- Пример: x^4+1 = (x^2+i)(x^2-i).
- Факторизация с вещественными числовыми коэффициентами возможна через сложение и вычитание.
-
Узнаваемые узоры
- Многие тождества обеспечивают равенство между суммой и произведением.
- Примеры: разница в двух квадратах, сумма/разность двух кубиков, разность двух четвертых степеней.
-
Корни единства
- N-й корень из единицы — это комплексные числа, являющиеся корнями многочлена x^n-1.
- Примеры: E^n-F^n = (E-F)∏k=1^(n-1)(E-Fe^2ik\pi/n), E^n+F^n = ∏k=0^(n-1)(E-Fe^(2k+1)i\pi/n).
-
Факторизация с рациональными коэффициентами
- Включает циклотомические многочлены.
- Пример: E^n-F^n = ∏k∣n Q¯n(E,F), E^n+F^n = ∏k∣2n,k∤n Q¯n(E,F).
-
Многочлены и алгебраические уравнения
- Факторизация многочленов связана с решением алгебраических уравнений.
- Решение P(x) = 0 сводится к решению Q(x) = 0 и R(x) = 0.
- Факторная теорема утверждает, что если r является корнем из P(x) = 0, то P(x) может быть разложено на множители.
-
Факторизация многочленов
- Многочлены с вещественными или комплексными корнями могут быть разложены на множители.
- Полная факторизация уникальна в зависимости от порядка следования факторов.
- Для вещественных коэффициентов требуется факторизация с реальными коэффициентами.
-
Факторизация с рациональными коэффициентами
- Многочлены с рациональными коэффициентами могут быть разложены на произведение рационального числа и примитивного многочлена.
- Примитивная часть имеет положительный ведущий коэффициент.
- Факторная теорема утверждает, что если r является корнем, то существует факторизация с целыми коэффициентами.
-
Рациональные корни
- Для многочленов с рациональными коэффициентами можно искать рациональные корни.
- Примитивная факторизация сводит проблему к случаю многочленов с целыми коэффициентами.
- Если x = p/q является рациональным корнем, то q является делителем a0, а p – делителем an.
-
Квадратичный метод переменного тока
- Метод ac для квадратичных многочленов основан на проверке пар целых чисел, произведение которых равно ac.
- Корни равны r/a и s/a, где rs = ac и r + s = -b.
-
Использование формул для вычисления корней
- Квадратичные многочлены могут быть учтены с помощью квадратичной формулы.
- Для кубических и четвертичных многочленов существуют формулы, но они сложны для практического использования.
-
Использование связей между корнями
- Теория Галуа основана на изучении соотношений между корнями и коэффициентами.
- Евклидов алгоритм позволяет вычислить наибольший общий множитель двух многочленов.
-
Уникальные области факторизации
- Целые числа и многочлены над полем обладают свойством уникальной факторизации.
- Интегральные домены с этим свойством называются уникальными доменами факторизации (UFD).
-
Наибольшие общие делители и UFD
- Наибольшие общие делители существуют в UFD, но не каждая интегральная область с GCD является UFD.
- Каждая основная идеальная область является UFD.
- Евклидова область является основной идеальной областью и UFD.
- Евклидово деление позволяет определить евклидов алгоритм вычисления наибольших общих делителей, но не гарантирует существование алгоритма факторизации.
-
Алгебраические целые числа
- В 19 веке изучение диофантовых уравнений привело к введению алгебраических целых чисел.
- Целые числа Гаусса и Эйзенштейна являются основными идеальными областями и имеют уникальную факторизацию.
- Большинство колец алгебраических целых чисел не являются основными и не имеют однозначной факторизации.
- Пример: Z[√-5], где все факторы неустранимы.
- Отсутствие однозначной факторизации является основной трудностью при решении диофантовых уравнений.
- Дедекинд доказал, что кольца алгебраических целых чисел имеют уникальную факторизацию идеалов.
- Интегральные домены с уникальной факторизацией называются доменами Дедекинда.
-
Матрицы и факторизация
- Матричные кольца некоммутативны и не имеют однозначной факторизации.
- Задача факторизации состоит в нахождении коэффициентов заданных типов.
- Разложение LU дает матрицу как произведение нижней треугольной и верхней треугольной матриц.
- Разложение LUP включает матрицу перестановок в качестве третьего фактора.
- Наиболее распространенные типы матричных разложений на множители приведены в разделе Матричная декомпозиция.
- Логическая матрица представляет собой двоичное отношение, а матричное умножение соответствует составу отношений.
- Декомпозиция отношения посредством факторизации служит для определения характера отношения.