Формирование класса
-
Определение формации классов
- Формация классов — это топологическая группа G, действующая на модуль A.
- Слой E/F — это пара открытых подгрупп E и F из G.
- Нормальный слой — это слой, где F — нормальная подгруппа E.
- Циклический слой — это слой, где фактор-группа E/F является циклической.
-
Примеры формаций классов
- Теория поля локального класса Архимеда: G — тривиальная или циклическая группа порядка 2.
- Конечные поля: G — абсолютная группа Галуа конечного поля.
- Теория поля локального класса с характеристикой p>0: G — группа Галуа.
- Теория поля неархимедова локального класса с характеристикой 0: G — группа Галуа.
- Теория полей глобального класса с характеристикой p>0: G — группа Галуа.
- Теория полей глобального класса с характеристикой 0: G — группа Галуа рациональных чисел.
-
Первое и второе неравенства
- Первое неравенство: H1(E/F) ≤ 1 для циклических слоев.
- Второе неравенство: H0(E/F) ≤ 1 для всех обычных слоев.
- Объединение неравенств: H1(E/F) = 1 для всех нормальных слоев.
-
Группы Брауэра
- Группы Брауэра H2(E/*) определяются как прямой предел групп H2(E/F).
- H2(E/F) является циклическим с порядком |E/F|.
- Фундаментальный класс — это канонический генератор H2(E/F).
-
Теорема Тейта и отображение Артина
- Теорема Тейта: произведение cup с a является изоморфизмом Hn(G,Z) → Hn+2(G,A).
- Для образования классов: H−2(E/F,Z) → H0(E/F,AF).
-
Абелианизация группы Галуа
- Группа Галуа E/F может быть абелианизирована в терминах AE.
- Обратный изоморфизм дает гомоморфизм, называемый «картой Артина».
- Карта Артина не обязательно сюръективна, но имеет плотное изображение.
-
Теорема существования Такаги
- Теорема утверждает, что каждая конечная индексная замкнутая подгруппа группы классов idele является группой норм абелева расширения.
- Классический способ доказательства включает построение расширений с небольшими группами норм.
- Следствие: ядро отображения Артина является связным компонентом идентичности группы классов idele.
-
Группа Вейля
- Группа Вейля U в E/F соответствует фундаментальному классу uE/F в H2(E/F, AF).
- Группа Вейля для всего пласта определяется как обратная граница групп Вейля для всех слоев G/F.
- Отображение взаимности формирования классов (G, A) индуцирует изоморфизм от AG к абелианизации группы Вейля.