Оглавление
Формула Лейбница для π
-
Основные факты о формуле Лейбница
- Формула Лейбница используется для вычисления числа π.
- Она была открыта индийским математиком Мадхавой и независимо Джеймсом Грегори и Лейбницем.
- Формула Лейбница является частным случаем ряда Тейлора для обратной касательной функции.
-
Доказательства сходимости
- Существует два доказательства сходимости формулы Лейбница.
- Первое доказательство основано на теореме о сжатии и сходимости ряда при n → ∞.
- Второе доказательство использует сходимость ряда при |z| < 1 и непрерывность функции f(z).
-
Конвергенция и точность вычислений
- Формула Лейбница демонстрирует сублинейную сходимость, требуя большого количества слагаемых для достижения высокой точности.
- Для вычисления π с точностью до 10 знаков после запятой требуется 5 миллиардов слагаемых.
- Существуют методы ускорения сходимости, такие как преобразование Шенкса и Эйлера, которые позволяют значительно сократить количество слагаемых.
-
Необычное поведение и произведение Эйлера
- Усечение ряда Лейбница в нужное время может привести к совпадению десятичного разложения аппроксимации с десятичным разложением π.
- Формула суммирования Эйлера-Буля позволяет предсказать ошибки в вычислении π.
- Произведение Эйлера, полученное из формулы Лейбница, представляет собой бесконечное произведение с одним членом для каждого простого числа.
Полный текст статьи: